Los temperamentos Werckmeister son los sistemas de afinación descritos por Andreas Werckmeister en sus escritos. [1] [2] [3] Los sistemas de afinación están numerados de dos maneras diferentes: la primera se refiere al orden en que fueron presentados como "buenos temperamentos" en el tratado de Werckmeister de 1691, la segunda a su etiquetado en su monocordio . Las etiquetas de monocordio comienzan desde III ya que la entonación justa se etiqueta como I y el tono medio de un cuarto de coma se etiqueta como II. El temperamento comúnmente conocido como "Werckmeister III" se denomina en este artículo "Werckmeister I (III)". [4]
Las afinaciones I (III), II (IV) y III (V) se presentaban gráficamente mediante un ciclo de quintas y una lista de terceras mayores , dando el temperamento de cada una en fracciones de coma . Werckmeister utilizó la notación del constructor de órganos ^ para un intervalo reducido o templado hacia abajo y v para uno ampliado o templado hacia arriba. (Esto parece contradictorio: se basa en el uso de una herramienta de afinación cónica que remodelaría los extremos de los tubos). Una quinta pura es simplemente un guión. Werckmeister no fue explícito sobre si se refería a la coma sintónica o a la coma pitagórica : la diferencia entre ellas, el llamado cisma , es casi inaudible y afirmó que se podría dividir entre quintas.
La última afinación de "Septenarius" no fue concebida en términos de fracciones de coma, a pesar de los intentos de algunos autores modernos de aproximarla mediante algún método similar. En cambio, Werckmeister dio directamente las longitudes de las cuerdas en el monocorde y a partir de ahí calculó cómo debía templarse cada quinta.
Esta afinación utiliza principalmente quintas puras ( perfectas ), como en la afinación pitagórica , pero cada una de las quintas C – G – G – D, D – A y B – F ♯ se hace más pequeña, es decir, atenuada por 1/4 de la coma. No importa si se utiliza la coma pitagórica o la coma sintónica, las quintas templadas resultantes son, a todos los efectos prácticos, las mismas que las quintas de temperamento mediotono . Todas las terceras mayores están razonablemente cerca de 400 cents y, debido a que no todas las quintas están templadas, no existe una quinta lobo y las 12 notas pueden usarse como tónica.
Werckmeister designó esta afinación como particularmente adecuada para tocar música cromática (" ficte "), lo que puede haber llevado a su popularidad como afinación para la música de JS Bach en los últimos años.
Debido a que una cuarta parte de la coma pitagórica es , o , es posible calcular valores matemáticos exactos para las relaciones de frecuencia y los intervalos:
En Werckmeister II, las quintas C – G, D – A, E – B, F ♯ –C ♯ y B ♭ –F están atenuadas con 1/3 de coma, y las quintas G ♯ –D ♯ y E ♭ –B ♭ se amplían con 1/3 de coma. Las otras quintas son puras. Werckmeister diseñó esta afinación para tocar principalmente música diatónica (es decir, rara vez se utilizan las "notas negras"). La mayoría de sus intervalos están cerca del significado de sexta coma . Werckmeister también dio una tabla de longitudes de monocordes para esta afinación, estableciendo C = 120 unidades, una aproximación práctica a los valores teóricos exactos [ cita necesaria ] . Siguiendo los números del monocordio, G y D son algo más bajos que sus valores teóricos pero otras notas son algo más altas.
En Werckmeister III las quintas D – A, A – E, F ♯ –C ♯ , C ♯ –G ♯ y F – C se reducen en 1/4, y la quinta G ♯ –D ♯ se amplía en 1/4 coma. Las otras quintas son puras. Este temperamento está más cerca del temperamento igual que los dos anteriores.
Esta afinación se basa en una división de la longitud del monocorde en partes. Luego, las distintas notas se definen según en qué división de 196 se debe colocar el puente para producir sus tonos. La escala resultante tiene relaciones de frecuencia racionales , por lo que es matemáticamente distinta de los valores irracionales templados anteriores; sin embargo, en la práctica, ambos implican quintas que suenan puras e impuras. Werckmeister también dio una versión donde la longitud total se divide en 147 partes, que es simplemente una transposición de los intervalos de la afinación 196. Describió el Septenarius como "un temperamento adicional que no tiene nada que ver con las divisiones de la coma, pero en la práctica es tan correcto que uno puede estar realmente satisfecho con él".
Un problema aparente con estas afinaciones es el valor dado a D (o A en la versión transpuesta): Werckmeister lo escribe como 176. Sin embargo, esto produce un efecto musical malo porque el quinto G–D sería entonces muy plano (más de la mitad de un coma); el tercer B ♭ –D sería puro, pero D – F ♯ sería más que una coma demasiado aguda, todo lo cual contradice el resto de los escritos de Werckmeister sobre el temperamento. En la ilustración de la división de monocordios, el número "176" está escrito un lugar demasiado a la derecha, donde debería estar 175. Por lo tanto, es posible que el número 176 sea un error con el 175, lo que da un resultado musicalmente mucho más consistente. Ambos valores se dan en la siguiente tabla.
En la afinación con D=175, las quintas C–G, G–D, D–A, B–F ♯ , F ♯ –C ♯ y B ♭ –F están templadas estrechas, mientras que la quinta G ♯ –D ♯ está templado más que puro; las otras quintas son puras.
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {531441}{524288}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc7441c8aadee44a2ce977f9ee23126bb140354)
![{\displaystyle {\frac {27}{32}}{\sqrt[{4}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114ac99f23c6f72e37f9789eadd66d836a675b65)
