Parareal

Algoritmo paralelo a partir de análisis numérico.

Parareal es un algoritmo paralelo de análisis numérico y utilizado para la solución de problemas de valores iniciales . ^[1] Fue introducido en 2001 por Lions , Maday y Turinici. Desde entonces, se ha convertido en uno de los métodos de integración en tiempo paralelo más estudiados. ^{[ cita necesaria ]}

Ilustración de la primera iteración en Parareal (adaptada de la versión original ^[2] ).

Métodos de integración en tiempo paralelo

A diferencia de, por ejemplo, Runge-Kutta o los métodos de múltiples pasos , algunos de los cálculos en Parareal se pueden realizar en paralelo y, por lo tanto, Parareal es un ejemplo de un método de integración en paralelo en el tiempo. Si bien históricamente la mayoría de los esfuerzos para paralelizar la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales se centraron en la discretización espacial, en vista de los desafíos de la computación a exaescala , los métodos paralelos para la discretización temporal se han identificado como una posible forma de aumentar la concurrencia en el software numérico . ^[3] Debido a que Parareal calcula la solución numérica para múltiples pasos de tiempo en paralelo, se clasifica como un método paralelo entre pasos . ^[4] Esto contrasta con los enfoques que utilizan el paralelismo en todo el método , como Runge-Kutta paralelo o métodos de extrapolación, donde las etapas independientes se pueden calcular en paralelo o en paralelo a través de los métodos del sistema, como la relajación de forma de onda. ^{[5] [6]}

Historia

Parareal se puede derivar como un método multicuadrícula en el tiempo o como disparos múltiples a lo largo del eje del tiempo. ^[7] Ambas ideas, la multicuadrícula en el tiempo y la adopción de disparos múltiples para la integración temporal, se remontan a las décadas de 1980 y 1990. ^{[8] [9]} Parareal es un método ampliamente estudiado y se ha utilizado y modificado para una variedad de aplicaciones diferentes. ^[10] Las ideas para paralelizar la solución de problemas de valores iniciales se remontan aún más atrás: el primer artículo que propone un método de integración paralelo en el tiempo apareció en 1964. ^[11]

Algoritmo

El problema

El objetivo es resolver un problema de valor inicial de la forma

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=f(t,u)\quad {\text{over}}\quad t\in [t_{0},T]\quad {\text{with}}\quad u(t_{0})=u^{0}.}$

Se supone que el lado derecho es una función suave (posiblemente no lineal). También puede corresponder a la discretización espacial de una ecuación diferencial parcial en un método de aproximación de líneas. Deseamos resolver este problema en una malla temporal de puntos igualmente espaciados , donde y . Realizando esta discretización obtenemos un intervalo de tiempo particionado formado por intervalos de tiempo para . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle (t_{0},t_{1},\ldots ,t_{N})}$ ${\displaystyle t_{j+1}=t_{j}+\Delta T}$ ${\displaystyle \Delta T=(T-t_{0})/N}$ ${\displaystyle [t_{j},t_{j+1}]}$ ${\displaystyle j=0,\ldots ,N-1}$

El objetivo es calcular aproximaciones numéricas a la solución exacta utilizando un método de pasos de tiempo en serie (por ejemplo, Runge-Kutta) que tiene una alta precisión numérica (y por lo tanto un alto costo computacional). Nos referimos a este método como el solucionador fino , que propaga un valor inicial en un momento a un valor terminal en un momento . El objetivo es calcular la solución (con alta precisión numérica) utilizando tal que obtengamos ${\displaystyle U_{j}}$ ${\displaystyle u(t_{j})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U_{j}}$ ${\displaystyle t_{j}}$ ${\displaystyle U_{j+1}}$ ${\displaystyle t_{j+1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle U_{j+1}={\mathcal {F}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}),\quad {\text{where}}\quad U_{0}=u^{0}.}$

El problema con esta solución (y la razón para intentar resolverla en paralelo en primer lugar) es que es computacionalmente inviable calcular en tiempo real.

Cómo funciona

En lugar de utilizar un único procesador para resolver el problema del valor inicial (como se hace con los métodos clásicos de paso de tiempo), Parareal utiliza procesadores. El objetivo es utilizar procesadores para resolver problemas de valor inicial más pequeños (uno en cada segmento de tiempo) en paralelo. Por ejemplo, en un código basado en MPI , sería el número de procesos, mientras que en un código basado en OpenMP , sería igual al número de subprocesos . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Parareal utiliza un segundo método de pasos de tiempo para resolver este problema de valor inicial en paralelo, denominado solucionador aproximado . El solucionador aproximado funciona de la misma manera que el solucionador fino, propagando un valor inicial durante un intervalo de tiempo de longitud , sin embargo, lo hace con una precisión numérica mucho menor que (y por lo tanto con un costo computacional mucho menor). Tener un solucionador aproximado que sea mucho menos costoso computacionalmente que el solucionador fino es la clave para lograr una aceleración paralela con Parareal. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \Delta T}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

De ahora en adelante, denotaremos la solución de Parareal en el tiempo y la iteración como . ${\displaystyle t_{j}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U_{j}^{k}}$

Iteración cero

En primer lugar, ejecute el solucionador aproximado en serie durante todo el intervalo de tiempo para calcular una estimación inicial aproximada de la solución: ${\displaystyle [t_{0},T]}$

${\displaystyle U_{j+1}^{0}={\mathcal {G}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{0}),\quad j=0,\ldots ,N-1.}$

Iteraciones posteriores

A continuación, ejecute el solucionador preciso en cada uno de los intervalos de tiempo, en paralelo, a partir de los valores de solución más actualizados:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k-1}),\quad j=0,\ldots ,N-1.}$

Ahora actualice los valores de la solución parareal secuencialmente usando el predictor-corrector:

${\displaystyle U_{j+1}^{k}={\mathcal {G}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k})+{\mathcal {F}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k-1})-{\mathcal {G}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k-1}),\quad j=0,\ldots ,N-1.}$

En esta etapa, se puede utilizar un criterio de parada para determinar si los valores de la solución ya no cambian en cada iteración. Por ejemplo, se puede probar esto comprobando si

${\displaystyle |U_{j}^{k}-U_{j}^{k-1}|<\varepsilon \quad \forall \ j\leq N,}$

y algo de tolerancia . Si este criterio no se cumple, se pueden ejecutar iteraciones posteriores aplicando el solucionador fino en paralelo y luego el predictor-corrector. Sin embargo, una vez que se satisface el criterio, se dice que el algoritmo ha convergido en iteraciones. Tenga en cuenta que existen otros criterios de parada que se han probado con éxito en Parareal. ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle k\leq N}$

Observaciones

Parareal debería reproducir la solución que se obtiene mediante la aplicación en serie del solucionador fino y convergerá en un máximo de iteraciones. ^[7] Sin embargo, para que Parareal proporcione aceleración, tiene que converger en un número de iteraciones significativamente más pequeñas que el número de intervalos de tiempo, es decir . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k\ll N}$

En la iteración de Parareal, la evaluación computacionalmente costosa se puede realizar en paralelo en unidades de procesamiento. Por el contrario, la dependencia de significa que la corrección aproximada debe calcularse en orden serial. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k-1})}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U_{j+1}^{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(t_{j},t_{j+1},U_{j}^{k})}$

Normalmente, se elige alguna forma de método de Runge-Kutta para el integrador grueso y fino, donde podría ser de orden inferior y utilizar un paso de tiempo mayor que . Si el problema del valor inicial surge de la discretización de una PDE, también se puede utilizar una discretización espacial más gruesa, pero esto puede afectar negativamente a la convergencia a menos que se utilice una interpolación de alto orden. ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Visualización del algoritmo de Parareal. El propagador grueso aquí está etiquetado mientras que el propagador fino está etiquetado . ${\displaystyle {\bar {\varphi }}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Acelerar

Bajo algunos supuestos, se puede derivar un modelo teórico simple para la aceleración de Parareal. ^[13] Aunque en las aplicaciones estos supuestos pueden ser demasiado restrictivos, el modelo sigue siendo útil para ilustrar las ventajas y desventajas que implica obtener aceleración con Parareal.

Primero, supongamos que cada segmento de tiempo consta exactamente de pasos del integrador fino y pasos del integrador grueso. Esto incluye en particular la suposición de que todos los intervalos de tiempo tienen una longitud idéntica y que tanto el integrador grueso como el fino utilizan un tamaño de paso constante durante toda la simulación. En segundo lugar, denote por y el tiempo de cálculo requerido para un solo paso de los métodos fino y grueso, respectivamente, y suponga que ambos son constantes. Por lo general, esto no es exactamente cierto cuando se utiliza un método implícito , porque los tiempos de ejecución varían dependiendo del número de iteraciones requeridas por el solucionador iterativo . ${\displaystyle [t_{j},t_{j+1}]}$ ${\displaystyle N_{f}}$ ${\displaystyle N_{c}}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle \tau _{c}}$

Bajo estos dos supuestos, el tiempo de ejecución del método fino que se integra en intervalos de tiempo se puede modelar como ${\displaystyle P}$

${\displaystyle c_{\text{fine}}=PN_{f}\tau _{f}.}$

El tiempo de ejecución de Parareal usando unidades de procesamiento y realizando iteraciones es ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle c_{\text{parareal}}=(k+1)PN_{c}\tau _{c}+kN_{f}\tau _{f}.}$

La aceleración de Parareal entonces es

${\displaystyle S_{p}={\frac {c_{\text{fine}}}{c_{\text{parareal}}}}={\frac {1}{(k+1){\frac {N_{c}}{N_{f}}}{\frac {\tau _{c}}{\tau _{f}}}+{\frac {k}{P}}}}\leq \min \left\{{\frac {N_{f}\tau _{f}}{N_{c}\tau _{c}}},{\frac {P}{k}}\right\}.}$

Estos dos límites ilustran la compensación que se debe hacer al elegir el método aproximado: por un lado, tiene que ser barato y/o utilizar un paso de tiempo mucho mayor para que el primer límite sea lo más grande posible; Por otro lado, el número de iteraciones debe mantenerse bajo para mantener grande el segundo límite. En particular, la eficiencia paralela de Parareal está limitada por ${\displaystyle k}$

${\displaystyle E_{p}={\frac {S_{p}}{P}}\leq {\frac {1}{k}},}$

es decir, por la inversa del número de iteraciones requeridas.

Inestabilidad para valores propios imaginarios.

La versión básica de Parareal tiene problemas con valores propios imaginarios . ^[7] Por lo general, solo converge hacia las últimas iteraciones, es decir, a medida que se aproxima , y ​​la aceleración siempre será menor que uno. Entonces, o el número de iteraciones es pequeño y Parareal es inestable o, si es lo suficientemente grande como para que Parareal sea estable, no es posible acelerar. Esto también significa que Parareal suele ser inestable para ecuaciones hiperbólicas . ^[14] Aunque el análisis formal de Gander y Vandewalle cubre solo problemas lineales con coeficientes constantes, el problema también surge cuando Parareal se aplica a las ecuaciones no lineales de Navier-Stokes cuando el coeficiente de viscosidad se vuelve demasiado pequeño y el número de Reynolds demasiado grande. ^[15] Existen diferentes enfoques para estabilizar Parareal, ^{[16] [17] [18]} uno de los cuales es Parareal mejorado en el subespacio de Krylov. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S_{p}}$ ${\displaystyle k}$

Variantes

Existen múltiples algoritmos que se basan directamente o al menos están inspirados en el algoritmo original de Parareal.

El subespacio de Krylov mejoró Parareal

Desde el principio se reconoció que para problemas lineales la información generada por el método fino se puede utilizar para mejorar la precisión del método grueso . ^[17] Originalmente, la idea se formuló para el integrador de tiempo implícito paralelo PITA, ^[19] un método estrechamente relacionado con Parareal pero con pequeñas diferencias en cómo se realiza la corrección. En cada iteración, el resultado se calcula para los valores de . Con base en esta información, el subespacio ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\delta t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\Delta t}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\delta t}(U_{j}^{k})}$ ${\displaystyle u_{j}^{k}\in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle j=0,\ldots ,N-1}$

${\displaystyle S_{k}:=\left\{U_{j}^{k'}:0\leq k'\leq k,j=0,\ldots ,N-1\right\}}$

se define y actualiza después de cada iteración de Parareal. ^[20] Denotemos como la proyección ortogonal de a . Luego, reemplace el método aproximado con el integrador mejorado . ${\displaystyle P_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle S_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\Delta t}(u)={\mathcal {F}}_{\delta t}(P_{k}u)+{\mathcal {G}}_{\Delta t}((I-P_{k})u)}$

A medida que aumenta el número de iteraciones, el espacio crecerá y el propagador modificado será más preciso. Esto conducirá a una convergencia más rápida. Esta versión de Parareal también puede integrar de manera estable ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas lineales. ^[21] También existe una extensión a los problemas no lineales basados ​​en el método de base reducida. ^[18] ${\displaystyle S_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\Delta t}}$

Correcciones espectrales diferidas híbridas de Parareal

M. Minion ha propuesto un método con eficiencia paralela mejorada basado en una combinación de Parareal con correcciones espectrales diferidas (SDC) ^{[22] . [23]} Limita la elección de integrador grueso y fino a SDC, sacrificando flexibilidad para mejorar la eficiencia paralela. En lugar del límite de , el límite de eficiencia paralela en el método híbrido se convierte en ${\displaystyle 1/k}$

${\displaystyle E_{p}\leq {\frac {k_{s}}{k_{p}}}}$

siendo el número de iteraciones del método base SDC en serie y el número típicamente mayor de iteraciones del método híbrido paralelo. El híbrido Parareal-SDC se ha mejorado aún más mediante la adición de un esquema de aproximación completa como el que se utiliza en redes múltiples no lineales . Esto llevó al desarrollo del esquema paralelo de aproximación total en el espacio y el tiempo (PFASST). ^[24] El rendimiento de PFASST se ha estudiado para PEPC, un solucionador de partículas basado en código de árbol Barnes-Hut desarrollado en el Centro de Supercomputación Juelich . Las simulaciones que utilizaron los 262.144 núcleos del sistema JUGENE de IBM BlueGene /P mostraron que PFASST podría producir una aceleración adicional más allá de la saturación de la paralelización del árbol espacial. ^[25] ${\displaystyle k_{s}}$ ${\displaystyle k_{p}}$

Reducción de tiempo multirred (MGRIT)

El método de reducción en el tiempo de múltiples redes (MGRIT) generaliza la interpretación de Parareal como un algoritmo de múltiples redes en el tiempo a múltiples niveles utilizando diferentes suavizadores. ^[26] Es un enfoque más general pero para una elección específica de parámetros es equivalente a Parareal. La biblioteca XBraid que implementa MGRIT está siendo desarrollada por el Laboratorio Nacional Lawrence Livermore .

ParaExp

ParaExp utiliza integradores exponenciales dentro de Parareal. ^[27] Si bien se limita a problemas lineales, puede producir una aceleración paralela casi óptima.

Referencias

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enlaces externos

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