En el campo matemático de la teoría de nudos , la coloración n de Fox es un método para especificar una representación de un grupo de nudos o un grupo de un enlace (que no debe confundirse con un grupo de enlaces ) sobre el grupo diedro de orden n donde n es un entero impar coloreando arcos en un diagrama de enlaces (la representación en sí también se suele llamar coloración n de Fox ). Ralph Fox descubrió este método (y el caso especial de tricolorabilidad ) "en un esfuerzo por hacer que el tema fuera accesible para todos" cuando explicaba la teoría de nudos a estudiantes universitarios en Haverford College en 1956. La coloración n de Fox es un ejemplo de un dilema de conjugación .
Sea L un enlace , y sea el grupo fundamental de su complemento . Una representación de sobre el grupo diedro de orden 2n se llama una n -coloración de Fox (o simplemente una n -coloración) de L . Un enlace L que admite tal representación se dice que es n -coloreable , y se llama una n -coloración de L . Tales representaciones de grupos de enlaces habían sido consideradas en el contexto de los espacios de cobertura desde Reidemeister en 1929. [En realidad, Reidemeister explicó completamente todo esto en 1926, en la página 18 de "Knoten und Gruppen" en Hamburger Abhandlungen 5. El nombre "coloración de Fox" le fue dado mucho más tarde por matemáticos que probablemente no podían leer alemán.] El término preferido de Fox para la llamada "3-coloración de Fox" era "propiedad L"; Ver ejercicio 6 en la página 92 de su libro "Introducción a la teoría de nudos" (1963).
El grupo de un enlace se genera por caminos desde un punto base en hasta el límite de un vecindario tubular del enlace, alrededor de un meridiano del vecindario tubular y de regreso al punto base. Por sobreyectividad de la representación, estos generadores deben mapearse a reflexiones de un n -gono regular. Tales reflexiones corresponden a elementos del grupo diedro, donde t es una reflexión y s es una rotación generadora ( ) del n -gono. Los generadores del grupo de un enlace dado anteriormente están en correspondencia biyectiva con arcos de un diagrama de enlace , y si un generador se mapea a coloreamos el arco correspondiente . Esto se llama una coloración n de Fox del diagrama de enlace y satisface las siguientes propiedades:
Un enlace n -coloreado produce una 3-variedad M tomando el recubrimiento diedro (irregular) de la 3-esfera ramificada sobre L con monodromía dada por . Por un teorema de Montesinos y Hilden, cualquier 3-variedad orientada y cerrada puede obtenerse de esta manera para algún nudo K y alguna tricoloración de K . Esto ya no es cierto cuando n es mayor que tres.
El número de coloraciones Fox n distintas de un enlace L , denotado
es un invariante del enlace, que es fácil de calcular a mano en cualquier diagrama de enlace coloreando los arcos según las reglas de coloración. Al contar las coloraciones, por convención también consideramos el caso en el que a todos los arcos se les da el mismo color, y llamamos a esa coloración trivial.
Por ejemplo, el diagrama de cruce mínimo estándar del nudo trébol tiene 9 tricolores distintos como se ve en la figura:
El conjunto de coloraciones de Fox 'n' de un enlace forma un grupo abeliano , donde la suma de dos coloraciones n es la coloración n obtenida por adición hebra por hebra. Este grupo se divide como una suma directa
donde el primer sumando corresponde a los n colores triviales (constantes), y los elementos distintos de cero del sumando corresponden a n -coloraciones no triviales ( traducciones módulo obtenidas añadiendo una constante a cada cadena).
Si es el operador suma conexo y y son enlaces, entonces
Sea L un enlace, y sea π el grupo fundamental de su complemento, y sea G un grupo. Un homomorfismo de π a G se llama una G -coloración de L . Una G -coloración de un diagrama de nudos es una asignación inducida de un elemento de G a las hebras de L tal que, en cada cruce, si c es el elemento de G asignado a la hebra que se cruza por encima y si a y b son los elementos de G asignados a las dos hebras que se cruzan por debajo, entonces a = c −1 bc o b = c −1 ac , dependiendo de la orientación de la hebra que se cruza por encima. Si el grupo G es diedro de orden 2n , esta representación diagramática de una G -coloración se reduce a una Fox n -coloración. El nudo toroidal T(3,5) tiene solo n -coloraciones constantes , pero para el grupo G igual al grupo alternante A 5 , T(3,5) tiene G -coloraciones no constantes .
