campo fermiónico

Campos que dan lugar a partículas fermiónicas.

En la teoría cuántica de campos , un campo fermiónico es un campo cuántico cuyos cuantos son fermiones ; es decir, obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac . Los campos fermiónicos obedecen a relaciones canónicas de anticonmutación en lugar de a las relaciones de conmutación canónicas de los campos bosónicos .

El ejemplo más destacado de campo fermiónico es el campo de Dirac, que describe fermiones con espín -1/2: electrones , protones , quarks , etc. El campo de Dirac puede describirse como un espinor de 4 componentes o como un par de 2 -espinores de Weyl componentes. Los fermiones Spin-1/2 Majorana , como el hipotético neutralino , pueden describirse como un espinor Majorana dependiente de 4 componentes o un espinor Weyl único de 2 componentes. No se sabe si el neutrino es un fermión de Majorana o un fermión de Dirac ; La observación experimental de la desintegración doble beta sin neutrinos resolvería esta cuestión.

Propiedades básicas

Los campos fermiónicos libres (que no interactúan) obedecen a relaciones canónicas de anticonmutación ; es decir, involucran a los anticonmutadores { a , b } = ab + ba , en lugar de los conmutadores [ a , b ] = ab − ba de la mecánica cuántica bosónica o estándar. Esas relaciones también son válidas para campos fermiónicos que interactúan en la imagen de interacción , donde los campos evolucionan en el tiempo como si fueran libres y los efectos de la interacción están codificados en la evolución de los estados.

Son estas relaciones de anticonmutación las que implican estadísticas de Fermi-Dirac para los cuantos de campo. También resultan en el principio de exclusión de Pauli : dos partículas fermiónicas no pueden ocupar el mismo estado al mismo tiempo.

Campos de Dirac

El ejemplo destacado de un campo de fermiones de espín-1/2 es el campo de Dirac (llamado así en honor a Paul Dirac ), y denotado por . La ecuación de movimiento para una partícula de 1/2 giro libre es la ecuación de Dirac , ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0.\,}$

donde están las matrices gamma y es la masa. Las soluciones más simples posibles a esta ecuación son las soluciones de onda plana y . Estas soluciones de onda plana forman una base para las componentes de Fourier de , permitiendo la expansión general de la función de onda de la siguiente manera, ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle u(p)e^{-ip\cdot x}\,}$ ${\displaystyle v(p)e^{ip\cdot x}\,}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }(x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u_{\alpha }^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }v_{\alpha }^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,}$

u y v son espinores, etiquetados por índices de espín, s y espinores . Para el electrón, una partícula de espín 1/2, s = +1/2 o s = −1/2. El factor de energía es el resultado de tener una medida de integración invariante de Lorentz. En la segunda cuantificación , se promueve a operador, por lo que los coeficientes de sus modos de Fourier también deben ser operadores. Por tanto, y son operadores. Las propiedades de estos operadores se pueden discernir a partir de las propiedades del campo. y obedecer las relaciones anticonmutación: ${\displaystyle \alpha \in \{0,1,2,3\}}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s}}$ ${\displaystyle b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \psi (y)^{\dagger }}$

${\displaystyle \left\{\psi _{\alpha }(\mathbf {x} ),\psi _{\beta }^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{\alpha \beta }.}$

Imponemos una relación anticonmutador (a diferencia de una relación de conmutación como lo hacemos para el campo bosónico ) para que los operadores sean compatibles con las estadísticas de Fermi-Dirac . Introduciendo las expansiones para y , se pueden calcular las relaciones anticonmutación de los coeficientes. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \psi (y)}$

${\displaystyle \left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs},\,}$

De manera análoga a los operadores de creación y aniquilación no relativistas y sus conmutadores, estas álgebras conducen a la interpretación física que crea un fermión de momento p y espín s, y crea un antifermión de momento q y espín r . Ahora se considera que el campo general es una suma ponderada (por el factor de energía) de todos los espines y momentos posibles para crear fermiones y antifermiones. Su campo conjugado, es lo opuesto, una suma ponderada de todos los espines y momentos posibles para aniquilar fermiones y antifermiones. ${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$ ${\displaystyle b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle {\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

Una vez comprendidos los modos de campo y definido el campo conjugado, es posible construir cantidades invariantes de Lorentz para campos fermiónicos. Lo más simple es la cantidad . Esto deja claro el motivo de la elección de. Esto se debe a que la transformada general de Lorentz no es unitaria, por lo que la cantidad no sería invariante bajo tales transformaciones, por lo que la inclusión de es para corregir esto. La otra posible cantidad invariante de Lorentz distinta de cero , hasta una conjugación general, construible a partir de los campos fermiónicos es . ${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,}$ ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$ ${\displaystyle \gamma ^{0}\,}$ ${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }$

Dado que las combinaciones lineales de estas cantidades también son invariantes de Lorentz, esto conduce naturalmente a la densidad lagrangiana para el campo de Dirac mediante el requisito de que la ecuación de Euler-Lagrange del sistema recupere la ecuación de Dirac.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \,}$

Esta expresión tiene sus índices suprimidos. Cuando se reintroduce, la expresión completa es

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}_{a}\left(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab}\right)\psi _{b}\,}$

La densidad hamiltoniana ( energía ) también se puede construir definiendo primero el momento canónicamente conjugado con , llamado ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \Pi (x):}$

${\displaystyle \Pi \ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{D}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\dagger }\,.}$

Con esa definición de , la densidad hamiltoniana es: ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,}$

donde es el gradiente estándar de las coordenadas espaciales y es un vector de las matrices espaciales . Es sorprendente que la densidad hamiltoniana no dependa directamente de la derivada temporal de , pero la expresión es correcta. ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$ ${\displaystyle {\vec {\gamma }}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \psi }$

Dada la expresión para podemos construir el propagador de Feynman para el campo de fermiones: ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\left\langle 0\left|T(\psi (x){\overline {\psi }}(y))\right|0\right\rangle }$

definimos el producto ordenado en el tiempo para fermiones con un signo menos debido a su naturaleza anticonmutante

${\displaystyle T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).}$

Introduciendo nuestra expansión de onda plana para el campo de fermiones en la ecuación anterior se obtiene:

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}}$

donde hemos empleado la notación de barra diagonal de Feynman . Este resultado tiene sentido ya que el factor

${\displaystyle {\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}}}}$

es justo el inverso del operador que actúa en la ecuación de Dirac. Tenga en cuenta que el propagador de Feynman para el campo Klein-Gordon tiene esta misma propiedad. Dado que todos los observables razonables (como la energía, la carga, el número de partículas, etc.) se construyen a partir de un número par de campos de fermiones, la relación de conmutación desaparece entre dos observables cualesquiera en puntos del espacio-tiempo fuera del cono de luz. Como sabemos por la mecánica cuántica elemental, se pueden medir simultáneamente dos observables que conmutan simultáneamente. Por lo tanto, hemos implementado correctamente la invariancia de Lorentz para el campo de Dirac y hemos preservado la causalidad . ${\displaystyle \psi (x)}$

También se pueden analizar teorías de campo más complicadas que involucran interacciones (como la teoría de Yukawa o la electrodinámica cuántica ) mediante varios métodos perturbativos y no perturbativos.

Los campos de Dirac son un ingrediente importante del modelo estándar .

Ver también

• ecuación de dirac
• Teorema de la estadística de espín
• espinor
• Campo compuesto
• Campo Auxiliar

Referencias

• Edwards, D. (1981). "Los fundamentos matemáticos de la teoría cuántica de campos: fermiones, campos de calibre y supersimetría, parte I: teorías de campos de celosía". En t. J. Theor. Física . 20 (7): 503–517. Código bibliográfico : 1981IJTP...20..503E. doi :10.1007/BF00669437. S2CID  120108219.
• Peskin, M y Schroeder, D. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos , Westview Press. (Consulte las páginas 35 a 63).
• Srednicki, Mark (2007). Teoría cuántica de campos Archivado el 25 de julio de 2011 en Wayback Machine , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86449-7 . 
• Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de los campos , (3 volúmenes) Cambridge University Press.