Teorema de Apolonio

Relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados.

áreas verdes/azules = área roja

Pitágoras como caso especial:
área verde = área roja

En geometría , el teorema de Apolonio es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados. Afirma que la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera de cualquier triángulo es igual al doble del cuadrado de la mitad del tercer lado, más el doble del cuadrado de la mediana que divide el tercer lado. El teorema recibe su nombre del antiguo matemático griego Apolonio de Perge .

Enunciado y relación con otros teoremas

En cualquier triángulo si es una mediana, entonces es un caso especial del teorema de Stewart . Para un triángulo isósceles con la mediana es perpendicular a y el teorema se reduce al teorema de Pitágoras para triángulo (o triángulo ). A partir del hecho de que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí, el teorema es equivalente a la ley del paralelogramo . ${\displaystyle ABC,}$ ${\displaystyle AD}$ $${\displaystyle |AB|^{2}+|AC|^{2}=2(|BD|^{2}+|AD|^{2}).}$$ ${\displaystyle |AB|=|AC|,}$ ${\displaystyle AD}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle ADB}$ ${\displaystyle ADC}$

Prueba

Prueba del teorema de Apolonio

El teorema puede demostrarse como un caso especial del teorema de Stewart o puede demostrarse utilizando vectores (véase la ley del paralelogramo ). La siguiente es una prueba independiente que utiliza la ley de los cosenos. ^[1]

Sea el triángulo con lados con una mediana dibujada en el lado Sea la longitud de los segmentos de formados por la mediana, entonces es la mitad de Sean los ángulos formados entre y y donde incluye e incluye Entonces es el suplemento de y La ley de los cosenos para y establece que ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ^{\prime },}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta .}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}}$$

Agregue la primera y la tercera ecuación para obtener lo requerido. $${\displaystyle b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})}$$

Véase también

• Fórmulas que involucran las longitudes de las medianas  – Segmento de línea que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto

Referencias

1. Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Geometría moderna. University Press. pág. 20.

Enlaces externos

• Teorema de Apolonio en PlanetMath .
• David B. Surowski: Matemáticas avanzadas para la enseñanza secundaria. p. 27