Paradoja de Condorcet

La autocontradicción de la regla de la mayoría

En la teoría de la elección social , la paradoja de la votación de Condorcet es un descubrimiento fundamental del Marqués de Condorcet : la regla de la mayoría es inherentemente contradictoria . El resultado implica que es lógicamente imposible para cualquier sistema de votación garantizar que un ganador tendrá el apoyo de una mayoría de votantes: en algunas situaciones, una mayoría de votantes preferirá A a B, B a C y también C a A, incluso si las preferencias individuales de cada votante son racionales y evitan la contradicción. Los ejemplos de la paradoja de Condorcet se denominan ciclos de Condorcet o lazos cíclicos .

En un ciclo de este tipo, el electorado rechaza todas las opciones posibles en favor de otra alternativa, preferida por más de la mitad de los votantes. Por lo tanto, cualquier intento de fundamentar la toma de decisiones sociales en el mayoritarismo debe aceptar esas contradicciones internas (comúnmente llamadas efectos de saboteo ). Los sistemas que intentan hacerlo, al tiempo que minimizan la tasa de esas contradicciones internas, se denominan métodos de Condorcet .

La paradoja de Condorcet es un caso especial de la paradoja de Arrow , que muestra que cualquier tipo de proceso de toma de decisiones sociales es contradictorio, una dictadura o incorpora información sobre la fuerza de las preferencias de diferentes votantes (por ejemplo, la utilidad cardinal o el voto calificado ).

Historia

La paradoja de Condorcet fue descubierta por primera vez por el filósofo y teólogo español Ramón Llull en el siglo XIII, durante sus investigaciones sobre el gobierno de la iglesia , pero su trabajo se perdió hasta el siglo XXI. El matemático y filósofo político Marqués de Condorcet redescubrió la paradoja a finales del siglo XVIII. ^{[1] [2] [3]}

El descubrimiento de Condorcet significa que posiblemente identificó el resultado clave del teorema de imposibilidad de Arrow , aunque bajo condiciones más fuertes que las requeridas por Arrow: los ciclos de Condorcet crean situaciones en las que cualquier sistema de votación clasificado que respete las mayorías debe tener un efecto spoiler .

Ejemplo

Supongamos que tenemos tres candidatos, A, B y C, y que hay tres votantes con preferencias como las siguientes:

Votantes (azul) y candidatos (rojo) representados en un espacio de preferencias bidimensional. Cada votante prefiere un candidato más cercano a otro más lejano. Las flechas muestran el orden en el que los votantes prefieren a los candidatos.

Si se elige a C como ganador, se puede argumentar que B debería ganar en su lugar, ya que dos votantes (1 y 2) prefieren B a C y solo un votante (3) prefiere C a B. Sin embargo, por el mismo argumento, A es preferido a B, y C es preferido a A, por un margen de dos a uno en cada ocasión. Por lo tanto, las preferencias de la sociedad muestran un ciclo: A es preferido sobre B, que es preferido sobre C, que es preferido sobre A.

En consecuencia, cualquier intento de apelar al principio de la regla de la mayoría conducirá a una contradicción lógica . Independientemente de la alternativa que seleccionemos, podemos encontrar otra alternativa que sea la preferida por la mayoría de los votantes.

Probabilidad de la paradoja

Es posible estimar la probabilidad de la paradoja extrapolando datos electorales reales o utilizando modelos matemáticos del comportamiento de los votantes, aunque los resultados dependen en gran medida del modelo utilizado.

Modelo de cultura imparcial

Podemos calcular la probabilidad de ver la paradoja para el caso especial en el que las preferencias de los votantes se distribuyen uniformemente entre los candidatos. (Este es el modelo de " cultura imparcial ", que se sabe que es un "escenario de caso peor" ^{[4] [5] : 40  [6] : 320  [7]} —la mayoría de los modelos muestran probabilidades sustancialmente más bajas de ciclos de Condorcet).

Para los votantes que proporcionan una lista de preferencias de tres candidatos A, B, C, escribimos (resp. , ) la variable aleatoria igual al número de votantes que colocaron A delante de B (respectivamente B delante de C, C delante de A). La probabilidad buscada es (duplicamos porque también existe el caso simétrico A> C> B> A). Mostramos que, para impar , donde lo que hace que uno necesite saber solo la distribución conjunta de y . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle Z_{n}}$ ${\displaystyle p_{n}=2P(X_{n}>n/2,Y_{n}>n/2,Z_{n}>n/2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{n}=3q_{n}-1/2}$ ${\displaystyle q_{n}=P(X_{n}>n/2,Y_{n}>n/2)}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle Y_{n}}$

Si ponemos , mostramos la relación que permite calcular esta distribución por recurrencia: . ${\displaystyle p_{n,i,j}=P(X_{n}=i,Y_{n}=j)}$ ${\displaystyle p_{n+1,i,j}={1 \over 6}p_{n,i,j}+{1 \over 3}p_{n,i-1,j}+{1 \over 3}p_{n,i,j-1}+{1 \over 6}p_{n,i-1,j-1}}$

Se obtienen entonces los siguientes resultados:

La secuencia parece tender hacia un límite finito.

Utilizando el teorema del límite central , demostramos que tiende a donde es una variable que sigue una distribución de Cauchy , lo que da (constante citada en la OEIS). ${\displaystyle q_{n}}$ ${\displaystyle q={\frac {1}{4}}P\left(|T|>{\frac {\sqrt {2}}{4}}\right),}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle q={\dfrac {1}{2\pi }}\int _{{\sqrt {2}}/4}^{+\infty }{\frac {dt}{1+t^{2}}}={\dfrac {\arctan 2{\sqrt {2}}}{2\pi }}={\dfrac {\arccos {\frac {1}{3}}}{2\pi }}}$

La probabilidad asintótica de encontrarse con la paradoja de Condorcet es por lo tanto , lo que da un valor de 8,77%. ^{[8] [9]} ${\displaystyle {{3\arccos {1 \over 3}} \over {2\pi }}-{1 \over 2}={\arcsin {{\sqrt {6}} \over 9} \over \pi }}$

Se han calculado ^[10] y simulado algunos resultados para el caso de más de tres candidatos. ^[11] La probabilidad simulada para un modelo de cultura imparcial con 25 votantes aumenta con el número de candidatos: ^{[11] :  28}

La probabilidad de un ciclo de Condorcet para modelos relacionados se acerca a estos valores para elecciones con tres candidatos y electorados grandes: ^[9]

• Cultura anónima imparcial (CAI): 6,25%
• Cultura uniforme (UC): 6,25%
• Condición máxima de cultivo (CM): 9,17 %

Todos estos modelos son poco realistas, pero se pueden investigar para establecer un límite superior a la probabilidad de un ciclo. ^[9]

Modelos de coherencia grupal

Cuando se modelan con preferencias de votantes más realistas, las paradojas de Condorcet en elecciones con un pequeño número de candidatos y un gran número de votantes se vuelven muy raras. ^{[5] : 78}

Modelo espacial

En un estudio de elecciones con tres candidatos se analizaron 12 modelos diferentes de comportamiento de los votantes y se descubrió que el modelo espacial de votación era el más preciso para los datos de las elecciones con voto por orden de preferencia del mundo real . Al analizar este modelo espacial, se descubrió que la probabilidad de un ciclo disminuye a cero a medida que aumenta el número de votantes, con probabilidades del 5 % para 100 votantes, del 0,5 % para 1000 votantes y del 0,06 % para 10 000 votantes. ^[12]

Otro modelo espacial encontró probabilidades de 2% o menos en todas las simulaciones de 201 votantes y 5 candidatos, ya sean bidimensionales o cuatridimensionales, con o sin correlación entre dimensiones, y con dos dispersiones diferentes de candidatos. ^{[11] :  31}

Estudios empíricos

Se han hecho muchos intentos para encontrar ejemplos empíricos de la paradoja. ^[13] La identificación empírica de una paradoja de Condorcet presupone datos extensos sobre las preferencias de los tomadores de decisiones sobre todas las alternativas, algo que rara vez está disponible.

Aunque parece que hay ejemplos de esta paradoja que ocurren ocasionalmente en entornos pequeños (por ejemplo, parlamentos), se han encontrado muy pocos ejemplos en grupos más grandes (por ejemplo, electorados), aunque se han identificado algunos. ^[14]

Un resumen de 37 estudios individuales, que abarcaron un total de 265 elecciones del mundo real, grandes y pequeñas, encontró 25 casos de una paradoja de Condorcet, para una probabilidad total de 9,4% ^{[6] : 325} (y esta puede ser una estimación alta, ya que es más probable que se informen casos de la paradoja que casos sin ella). ^{[5] : 47}

Un análisis de 883 elecciones con tres candidatos extraídas de 84 elecciones reales con voto clasificado de la Electoral Reform Society encontró una probabilidad de ciclo de Condorcet del 0,7%. Estas elecciones derivadas tenían entre 350 y 1.957 votantes. Un análisis similar de los datos de las encuestas de escala de termómetro de American National Election Studies de 1970-2004 encontró una probabilidad de ciclo de Condorcet del 0,4%. Estas elecciones derivadas tenían entre 759 y 2.521 "votantes". ^[12]

Una base de datos de 189 elecciones clasificadas en Estados Unidos desde 2004 hasta 2022 contenía solo un ciclo de Condorcet: la elección del consejo municipal del Distrito 2 de Minneapolis de 2021. [ ^15] Si bien esto indica una tasa muy baja de ciclos de Condorcet (0,5%), es posible que parte del efecto se deba a la dominación general de dos partidos .

Andrew Myers, que opera el Servicio de Votación por Internet Condorcet , analizó 10.354 elecciones CIVS no políticas y encontró ciclos en el 17% de las elecciones con al menos 10 votos, cifra que cae al 2,1% para las elecciones con al menos 100 votos y al 1,2% para las ≥300 votos. ^[16]

Trascendencia

Tres hombres que representan un empate mexicano . Así como no hay un ganador en un empate mexicano con ciertas combinaciones de apuntamientos con armas, a veces no hay un ganador con preferencia mayoritaria en una elección con votación por orden de preferencia.

Cuando se utiliza un método de Condorcet para determinar una elección, la paradoja de votación de las preferencias sociales cíclicas implica que la elección no tiene un ganador de Condorcet : ningún candidato que pueda ganar una elección uno a uno contra cada uno de los otros candidatos. Todavía habrá un grupo más pequeño de candidatos, conocido como el conjunto de Smith , de modo que cada candidato del grupo puede ganar una elección uno a uno contra cada uno de los candidatos fuera del grupo. Las diversas variantes del método de Condorcet difieren en cómo resuelven tales ambigüedades cuando surgen para determinar un ganador. ^[17] Los métodos de Condorcet que siempre eligen a alguien del conjunto de Smith cuando no hay un ganador de Condorcet se conocen como Smith-eficientes . Nótese que utilizando solo clasificaciones, no hay una resolución justa y determinista para el ejemplo trivial dado anteriormente porque cada candidato está en una situación exactamente simétrica.

Las situaciones en las que se presenta la paradoja de la votación pueden provocar que los mecanismos de votación violen el axioma de independencia de alternativas irrelevantes : la elección del ganador mediante un mecanismo de votación podría verse influenciada por la disponibilidad o no de un candidato perdedor para ser votado.

Procesos de votación en dos etapas

Una implicación importante de la posible existencia de la paradoja de la votación en una situación práctica es que en un proceso de votación por pares como los del procedimiento parlamentario estándar , el ganador final dependerá de la forma en que se ordenen los votos mayoritarios. Por ejemplo, supongamos que se va a aprobar un proyecto de ley popular, antes de que algún otro grupo presente una enmienda; esta enmienda se aprueba por mayoría de votos. Esto puede dar lugar a que una mayoría de una legislatura rechace el proyecto de ley en su conjunto, creando así una paradoja (donde una enmienda popular a un proyecto de ley popular lo ha vuelto impopular). Esta inconsistencia lógica es el origen de la enmienda de la píldora venenosa , que diseña deliberadamente un falso ciclo de Condorcet para matar un proyecto de ley. Del mismo modo, el orden de los votos en una legislatura puede ser manipulado por la persona que los organiza para asegurar que gane su resultado preferido.

A pesar de las frecuentes objeciones de los teóricos de la elección social acerca de los resultados lógicamente incoherentes de tales procedimientos y la existencia de mejores alternativas para elegir entre múltiples versiones de un proyecto de ley, el procedimiento de regla de mayoría por pares es ampliamente utilizado y está codificado en los estatutos o procedimientos parlamentarios de casi todo tipo de asamblea deliberativa .

Efectos de spoiler

Las paradojas de Condorcet implican que los métodos mayoritarios no son independientes de las alternativas irrelevantes. Etiquete a los tres candidatos en una carrera como Piedra , Papel y Tijeras . En una carrera uno contra uno, Piedra pierde contra Papel, Papel contra Tijeras, etc.

Sin perder la generalidad , digamos que Piedra gana las elecciones con un método determinado. Entonces, Tijeras es un candidato que puede perjudicar a Papel: si Tijeras se retirara, Papel ganaría la única carrera uno a uno (Papel derrota a Piedra). El mismo razonamiento se aplica independientemente del ganador.

Este ejemplo también muestra por qué las elecciones Condorcet rara vez (o nunca) se arruinan: los arruinadores solo pueden ocurrir cuando no hay un ganador Condorcet. Los ciclos Condorcet son raros en elecciones grandes, ^{[18] [19]} y el teorema del votante mediano muestra que los ciclos son imposibles siempre que los candidatos se distribuyan en un espectro de izquierda-derecha .

Véase también

• Teorema de imposibilidad de Arrow
• Dilema discursivo
• Efecto spoiler
• Independencia de alternativas irrelevantes
• Número de Nakamura
• Votación cuadrática
• Piedra, papel o tijera
• Conjunto Smith

Referencias

1. Marqués de Condorcet (1785). Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix (PNG) (en francés) . Consultado el 10 de marzo de 2008 .
2. Condorcet, Jean-Antoine-Nicolas de Caritat; Sommerlad, Fiona; McLean, Iain (1989-01-01). La teoría política de Condorcet . Oxford: Universidad de Oxford, Facultad de Estudios Sociales. pp. 69-80, 152-166. OCLC  20408445. Claramente, si el voto de alguien fuera contradictorio en sí mismo (que tuviera preferencias cíclicas), tendría que ser descartado y, por lo tanto, deberíamos establecer una forma de votación que haga imposibles tales absurdos.
3. Gehrlein, William V. (2002). "La paradoja de Condorcet y la probabilidad de su ocurrencia: diferentes perspectivas sobre las preferencias equilibradas*". Teoría y decisión . 52 (2): 171–199. doi :10.1023/A:1015551010381. ISSN  0040-5833. S2CID  118143928. Aquí, Condorcet señala que tenemos un "sistema contradictorio" que representa lo que se ha dado en conocer como la paradoja de Condorcet.
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6. Van Deemen, Adrian (2014). "Sobre la relevancia empírica de la paradoja de Condorcet". Public Choice . 158 (3–4): 311–330. doi :10.1007/s11127-013-0133-3. ISSN  0048-5829. S2CID  154862595. pequeñas desviaciones del supuesto de cultura imparcial pueden conducir a grandes cambios en la probabilidad de la paradoja. Puede conducir a enormes descensos o, justo lo contrario, a enormes aumentos.
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Lectura adicional

• Garman, MB; Kamien, MI (1968). "La paradoja de la votación: cálculos de probabilidad". Ciencias del comportamiento . 13 (4): 306–316. doi :10.1002/bs.3830130405. PMID  5663897.
• Niemi, RG; Weisberg, H. (1968). "Una solución matemática para la probabilidad de la paradoja de la votación". Ciencias del comportamiento . 13 (4): 317–323. doi :10.1002/bs.3830130406. PMID  5663898.
• Niemi, RG; Wright, JR (1987). "Ciclos de votación y la estructura de las preferencias individuales". Elección social y bienestar . 4 (3): 173–183. doi :10.1007/BF00433943. JSTOR  41105865. S2CID  145654171.