Curvatura geodésica

En geometría de Riemann , la curvatura geodésica de una curva mide qué tan lejos está la curva de ser una geodésica . Por ejemplo, para curvas 1D en una superficie 2D incrustada en un espacio 3D , es la curvatura de la curva proyectada sobre el plano tangente de la superficie. De manera más general, en una variedad dada , la curvatura geodésica es simplemente la curvatura habitual de (ver más abajo). Sin embargo, cuando la curva está restringida a estar en una subvariedad de (por ejemplo, para curvas en superficies ), la curvatura geodésica se refiere a la curvatura de en y es diferente en general de la curvatura de en la variedad ambiente . La curvatura (ambiental) de depende de dos factores: la curvatura de la subvariedad en la dirección de (la curvatura normal ), que depende solo de la dirección de la curva, y la curvatura de vista en (la curvatura geodésica ), que es una cantidad de segundo orden. La relación entre estas es . En particular, las geodésicas en tienen una curvatura geodésica cero (son "rectas"), de modo que , lo que explica por qué parecen estar curvadas en el espacio ambiente siempre que la subvariedad sea. ${\displaystyle k_{g}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\bar {M}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\bar {M}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\bar {M}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k_{g}}$ ${\displaystyle k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k=k_{n}}$

Definición

Considérese una curva en una variedad , parametrizada por la longitud de arco , con vector tangente unitario . Su curvatura es la norma de la derivada covariante de : . Si se encuentra en , la curvatura geodésica es la norma de la proyección de la derivada covariante sobre el espacio tangente a la subvariedad. Por el contrario, la curvatura normal es la norma de la proyección de sobre el fibrado normal a la subvariedad en el punto considerado. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\bar {M}}}$ ${\displaystyle T=d\gamma /ds}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k=\|DT/ds\|}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle DT/ds}$ ${\displaystyle DT/ds}$

Si la variedad ambiental es el espacio euclidiano , entonces la derivada covariante es simplemente la derivada usual . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle DT/ds}$ ${\displaystyle dT/ds}$

Si es una velocidad unitaria, es decir , y designa el campo normal unitario de a lo largo de , la curvatura geodésica está dada por ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \|\gamma '(s)\|=1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle k_{g}=\gamma ''(s)\cdot {\Big (}N(\gamma (s))\times \gamma '(s){\Big )}=\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}\gamma (s)}{\mathrm {d} s^{2}}},N(\gamma (s)),{\frac {\mathrm {d} \gamma (s)}{\mathrm {d} s}}\right]\,,}$

donde los corchetes denotan el triple producto escalar .

Ejemplo

Sea la esfera unitaria en el espacio euclidiano tridimensional. La curvatura normal de es idénticamente 1, independientemente de la dirección considerada. Los círculos mayores tienen curvatura , por lo que tienen curvatura geodésica cero y, por lo tanto, son geodésicos. Los círculos más pequeños de radio tendrán curvatura y curvatura geodésica . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}}$

Algunos resultados que involucran la curvatura geodésica

• La curvatura geodésica no es otra que la curvatura habitual de la curva cuando se calcula intrínsecamente en la subvariedad . No depende de la forma en que la subvariedad se sitúa en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\bar {M}}}$
• Las geodésicas de tienen curvatura geodésica cero, lo que equivale a decir que es ortogonal al espacio tangente a . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle DT/ds}$ ${\displaystyle M}$
• Por otra parte, la curvatura normal depende fuertemente de cómo se encuentra la subvariedad en el espacio ambiente, pero marginalmente de la curva: sólo depende del punto en la subvariedad y la dirección , pero no de . ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle DT/ds}$
• En la geometría riemanniana general, la derivada se calcula utilizando la conexión de Levi-Civita de la variedad ambiente: . Se divide en una parte tangente y una parte normal a la subvariedad: . La parte tangente es la derivada habitual en (es un caso particular de la ecuación de Gauss en las ecuaciones de Gauss-Codazzi ), mientras que la parte normal es , donde denota la segunda forma fundamental . ${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$ ${\displaystyle DT/ds={\bar {\nabla }}_{T}T}$ ${\displaystyle {\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla }}_{T}T)^{\perp }}$ ${\displaystyle \nabla _{T}T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {I\!I} (T,T)}$ ${\displaystyle \mathrm {I\!I} }$
• El teorema de Gauss-Bonnet .

Véase también

• Curvatura
• Marco Darboux
• Ecuaciones de Gauss-Codazzi

Referencias

• do Carmo, Manfredo P. (1976), Geometría diferencial de curvas y superficies , Prentice-Hall, ISBN 0-13-212589-7
• Guggenheimer, Heinrich (1977), "Superficies", Geometría diferencial , Dover, ISBN 0-486-63433-7.
• Slobodyan, Yu.S. (2001) [1994], "Curvatura geodésica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Curvatura geodésica". MathWorld .