En geometría , la curva de momento es una curva algebraica en el espacio euclidiano d -dimensional dada por el conjunto de puntos con coordenadas cartesianas de la forma
En el plano euclidiano , la curva de momentos es una parábola y en el espacio tridimensional es una cúbica torcida . Su clausura en el espacio proyectivo es la curva normal racional .
Las curvas de momento se han utilizado para varias aplicaciones en geometría discreta , incluidos los politopos cíclicos , el problema de "no hay tres en la línea" y una prueba geométrica del número cromático de los gráficos de Kneser .
Cada hiperplano interseca la curva de momentos en un conjunto finito de, como máximo, d puntos. Si un hiperplano interseca la curva en exactamente d puntos, entonces la curva cruza el hiperplano en cada punto de intersección. Por lo tanto, cada conjunto finito de puntos en la curva de momentos está en posición general afín . [2]
La envoltura convexa de cualquier conjunto finito de puntos en la curva de momentos es un politopo cíclico . [3] Los politopos cíclicos tienen el mayor número posible de caras para un número dado de vértices, y en dimensiones cuatro o más tienen la propiedad de que sus aristas forman un grafo completo . Más fuertemente, son politopos vecinos , lo que significa que cada conjunto de como máximo d /2 vértices del politopo forma una de sus caras. Los conjuntos de puntos en la curva de momentos también realizan el número máximo posible de símplices, , entre todas las triangulaciones de Delaunay posibles de conjuntos de n puntos en d dimensiones. [4]
En el plano euclidiano , es posible dividir cualquier área o medida en cuatro subconjuntos iguales, utilizando el teorema del sándwich de jamón . De manera similar, pero más complicada, cualquier volumen o medida en tres dimensiones se puede dividir en ocho subconjuntos iguales mediante tres planos. Sin embargo, este resultado no se puede generalizar a cinco o más dimensiones, ya que la curva de momentos proporciona ejemplos de conjuntos que no se pueden dividir en 2 d subconjuntos mediante d hiperplanos. En particular, en cinco dimensiones, los conjuntos de cinco hiperplanos pueden dividir segmentos de la curva de momentos en un máximo de 26 partes. No se sabe si las particiones de cuatro dimensiones en 16 subconjuntos iguales mediante cuatro hiperplanos son siempre posibles, pero es posible dividir 16 puntos en la curva de momentos de cuatro dimensiones en los 16 ortantes de un conjunto de cuatro hiperplanos. [5]
Una construcción basada en la curva de momentos puede utilizarse para demostrar un lema de Gale, según el cual, para cualesquiera enteros positivos k y d , es posible colocar 2 k + d puntos en una esfera d -dimensional de tal manera que cada hemisferio abierto contenga al menos k puntos. Este lema, a su vez, puede utilizarse para calcular el número cromático de los grafos de Kneser , un problema resuelto por primera vez de una manera diferente por László Lovász . [6]
La curva de momentos también se ha utilizado en el dibujo de grafos , para demostrar que todos los grafos de n vértices pueden dibujarse con sus vértices en una cuadrícula de números enteros tridimensional de longitud de lado O( n ) y sin dos aristas que se crucen. La idea principal es elegir un número primo p mayor que n y colocar el vértice i del grafo en las coordenadas
En este caso, un plano solo puede cruzar la curva en tres posiciones. Dado que dos aristas que se cruzan deben tener cuatro vértices en el mismo plano, esto nunca puede suceder. Una construcción similar que utiliza la curva de momento módulo un número primo, pero en dos dimensiones en lugar de tres, proporciona un límite lineal para el problema de no tener tres en la línea . [8]
