En geometría algebraica , se dice que un morfismo entre esquemas es cuasi-compacto si Y puede ser cubierto por subesquemas afines abiertos tales que las preimágenes son compactas . [1] Si f es cuasi-compacto, entonces la preimagen de un subesquema abierto compacto (por ejemplo, subesquema afín abierto) bajo f es compacta.
No basta que Y admita un recubrimiento por subesquemas abiertos compactos cuyas preimágenes sean compactas. Para dar un ejemplo, [2] sea A un anillo que no satisface las condiciones de cadena ascendente sobre ideales radicales , y pongamos . Entonces X contiene un subconjunto abierto U que no es compacto. Sea Y el esquema obtenido al pegar dos X' a lo largo de U . X , Y son ambos compactos. Si es la inclusión de una de las copias de X , entonces la preimagen del otro X , afín abierto en Y , es U —no compacta—. Por lo tanto, f no es cuasicompacta.
Un morfismo de un esquema cuasi-compacto a un esquema afín es cuasi-compacto.
Sea un morfismo cuasicompacto entre esquemas. Entonces es cerrado si y solo si es estable bajo especialización.
La composición de los morfismos cuasi-compactos es cuasi-compacta. El cambio de base de un morfismo cuasi-compacto es cuasi-compacto.
Un esquema afín es cuasi compacto. De hecho, un esquema es cuasi compacto si y sólo si es una unión finita de subesquemas afines abiertos. El criterio de Serre proporciona una condición necesaria y suficiente para que un esquema cuasi compacto sea afín.
Un esquema cuasi-compacto tiene al menos un punto cerrado. [3]
{{citation}}: CS1 maint: DOI inactivo a partir de abril de 2024 ( enlace ). Véase en particular la Proposición 4.1.