En matemáticas , las líneas de un espacio proyectivo tridimensional , S , pueden verse como puntos de un espacio proyectivo de 5 dimensiones , T. En ese espacio de 5, los puntos que representan cada línea en S se encuentran en una cuádrica , Q conocida como cuádrica de Klein .
Si el espacio vectorial subyacente de S es el espacio vectorial de 4 dimensiones V , entonces T tiene como espacio vectorial subyacente el cuadrado exterior de 6 dimensiones Λ 2 V de V. Las coordenadas de línea obtenidas de esta manera se conocen como coordenadas de Plücker .
Estas coordenadas de Plücker satisfacen la relación cuadrática
definiendo Q , donde
son las coordenadas de la línea trazada por los dos vectores u y v .
El espacio tridimensional, S , se puede reconstruir nuevamente a partir de la cuádrica, Q : los planos contenidos en Q se dividen en dos clases de equivalencia , donde los planos de la misma clase se encuentran en un punto y los planos de diferentes clases se encuentran en una línea o en el conjunto vacío. Sean estas clases C y C ′. La geometría de S se recupera de la siguiente manera:
El hecho de que las geometrías de S y Q sean isomorfas puede explicarse por el isomorfismo de los diagramas de Dynkin A 3 y D 3 .
