Cuadrar el cuadrado es el problema de teselar un cuadrado integral usando solo otros cuadrados integrales. (Un cuadrado integral es un cuadrado cuyos lados tienen una longitud entera ). El nombre fue acuñado en una analogía humorística con la cuadratura del círculo . Cuadrar el cuadrado es una tarea fácil a menos que se establezcan condiciones adicionales. La restricción más estudiada es que el cuadrado sea perfecto , es decir, que los tamaños de los cuadrados más pequeños sean todos diferentes. Un problema relacionado es elevar el plano al cuadrado , lo que se puede hacer incluso con la restricción de que cada número natural aparece exactamente una vez como tamaño de un cuadrado en el mosaico. El orden de un cuadrado al cuadrado es el número de cuadrados que lo constituyen.
Un cuadrado "perfecto" es un cuadrado tal que cada uno de los cuadrados más pequeños tiene un tamaño diferente.
Se registra por primera vez que fue estudiado por RL Brooks , CAB Smith , AH Stone y WT Tutte (escribiendo bajo el seudónimo colectivo " Blanche Descartes ") en la Universidad de Cambridge entre 1936 y 1938. Transformaron el mosaico cuadrado en un circuito eléctrico equivalente : Lo llamó "diagrama de Smith", al considerar los cuadrados como resistencias que se conectaban a sus vecinos en sus bordes superior e inferior, y luego aplicó las leyes de circuitos y las técnicas de descomposición de circuitos de Kirchhoff a ese circuito. Los primeros cuadrados perfectos que encontraron eran de orden 69.
El primer cuadrado perfecto publicado, un cuadrado compuesto de lado 4205 y orden 55, fue encontrado por Roland Sprague en 1939. [1]
Martin Gardner publicó un extenso artículo escrito por WT Tutte sobre la historia temprana de la cuadratura en su columna Mathematical Games de noviembre de 1958. [2]
Un cuadrado "simple" es aquel en el que ningún subconjunto de más de uno de los cuadrados forma un rectángulo o cuadrado; de lo contrario, es "compuesto".
En 1978, AJW Duijvestijn descubrió un cuadrado perfecto simple de lado 112 con el menor número de cuadrados mediante una búsqueda por computadora. Su mosaico utiliza 21 cuadrados y se ha demostrado que es mínimo. [3] Este cuadrado forma el logotipo de la Trinity Mathematical Society . También aparece en la portada del Journal of Combinatorial Theory .
Duijvestijn también encontró dos cuadrados perfectos simples de 110 lados, pero cada uno con 22 cuadrados. Theophilus Harding Willcocks, un matemático aficionado y compositor de ajedrez mágico , encontró otro. En 1999, I. Gambini demostró que estos tres son los cuadrados perfectos más pequeños en términos de longitud de lado. [4]
El cuadrado compuesto perfecto con el menor número de cuadrados fue descubierto por TH Willcocks en 1946 y tiene 24 cuadrados; sin embargo, no fue hasta 1982 que Duijvestijn, Pasquale Joseph Federico y P. Leeuw demostraron matemáticamente que era el ejemplo de orden más bajo. [5]
Cuando se relaja la restricción de que todos los cuadrados sean de diferentes tamaños, un cuadrado cuadrado tal que las longitudes de los lados de los cuadrados más pequeños no tengan un divisor común mayor que 1 se llama "edredón de la Sra. Perkins". En otras palabras, el máximo común divisor de todas las longitudes de los lados más pequeños debe ser 1. El problema de la colcha de la Sra. Perkins solicita una colcha de la Sra. Perkins con la menor cantidad de piezas para un cuadrado determinado. El número de piezas necesarias es como mínimo , [6] y como máximo . [7] Las búsquedas por computadora han encontrado soluciones exactas para valores pequeños de (lo suficientemente pequeños como para necesitar hasta 18 piezas). [8] Para el número de piezas requeridas es:
Para cualquier número entero que no sea 2, 3 y 5, es posible diseccionar un cuadrado en cuadrados de uno o dos tamaños diferentes. [9]
En 1975, Solomon Golomb planteó la cuestión de si todo el plano se puede revestir con cuadrados, uno de cada longitud de arista entera, a lo que llamó la conjetura del mosaico heterogéneo . Este problema fue publicado más tarde por Martin Gardner en su columna de Scientific American y apareció en varios libros, pero desafió toda solución durante más de 30 años.
En Mosaicos y patrones , publicado en 1987, Branko Grünbaum y GC Shephard afirmaron que en todos los mosaicos integrales perfectos del plano conocidos en ese momento, los tamaños de los cuadrados crecían exponencialmente . Por ejemplo, el plano se puede revestir con diferentes cuadrados integrales, pero no para cada número entero, tomando recursivamente cualquier cuadrado cuadrado perfecto y agrandándolo de manera que el mosaico anteriormente más pequeño tenga ahora el tamaño del cuadrado original, luego reemplazando este mosaico con una copia del cuadrado cuadrado original.
En 2008, James Henle y Frederick Henle demostraron que, de hecho, esto se puede hacer. Su prueba es constructiva y procede "inflando" una región en forma de L formada por dos cuadrados uno al lado del otro y alineados horizontalmente de diferentes tamaños hasta un mosaico perfecto de una región rectangular más grande, luego uniendo el cuadrado del tamaño más pequeño no sin embargo, solía tener otra región más grande en forma de L. Los cuadrados agregados durante el procedimiento de inflado tienen tamaños que aún no han aparecido en la construcción y el procedimiento se configura de manera que las regiones rectangulares resultantes se expandan en las cuatro direcciones, lo que conduce a un mosaico de todo el plano. [10]
Subir el cubo al cubo es análogo en tres dimensiones a elevar el cuadrado al cuadrado: es decir, dado un cubo C , el problema de dividirlo en un número finito de cubos más pequeños, no hay dos congruentes.
A diferencia del caso de elevar el cuadrado al cuadrado, un problema difícil pero solucionable, no existe un cubo cúbico perfecto y, más generalmente, no existe una disección de un cuboide rectangular C en un número finito de cubos desiguales.
Para probar esto, comenzamos con la siguiente afirmación: para cualquier disección perfecta de un rectángulo en cuadrados, el cuadrado más pequeño de esta disección no se encuentra en un borde del rectángulo. De hecho, cada cuadrado de esquina tiene un cuadrado de borde adyacente más pequeño, y el cuadrado de borde más pequeño es adyacente a cuadrados más pequeños que no están en el borde.
Supongamos ahora que hay una disección perfecta de un cuboide rectangular en cubos. Haz una cara de C su base horizontal. La base está dividida en un rectángulo cuadrado perfecto R por los cubos que descansan sobre él. El cuadrado más pequeño s 1 en R está rodeado por cubos más grandes y, por tanto , más altos . Por tanto, la cara superior del cubo en s 1 está dividida en un cuadrado perfecto por los cubos que descansan sobre él. Sea s 2 el cuadrado más pequeño de esta disección. Según la afirmación anterior, éste está rodeado en sus 4 lados por cuadrados que son mayores que s 2 y, por tanto, más altos.
La secuencia de cuadrados s 1 , s 2 , ... es infinita y los cubos correspondientes son infinitos en número. Esto contradice nuestra suposición original. [11]
Si un hipercubo de 4 dimensiones pudiera ser perfectamente hipercubizado, entonces sus "caras" serían cubos perfectos al cubo; esto es imposible. De manera similar, no existe solución para todos los cubos de dimensiones superiores.
