Covarianza cruzada

En probabilidad y estadística , dados dos procesos estocásticos y , la covarianza cruzada es una función que da la covarianza de un proceso con el otro en pares de puntos temporales. Con la notación habitual para el operador de expectativa , si los procesos tienen las funciones medias y , entonces la covarianza cruzada está dada por ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} }$ ${\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {\operatorname {E} } [X_{t}]}$ ${\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} [Y_{t}]}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}Y_{t_{2}}]-\mu _{X}(t_{1})\mu _{Y}(t_{2}).\,}$

La covarianza cruzada está relacionada con la correlación cruzada de los procesos en cuestión, más comúnmente utilizada.

En el caso de dos vectores aleatorios y , la covarianza cruzada sería una matriz (a menudo denotada como ) con entradas Por lo tanto, el término covarianza cruzada se utiliza para distinguir este concepto de la covarianza de un vector aleatorio , que se entiende como la matriz de covarianzas entre los componentes escalares de sí mismo. ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{p})^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{q})^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle p\times q}$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}}$ ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(j,k)=\operatorname {cov} (X_{j},Y_{k}).\,}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

En el procesamiento de señales , la covarianza cruzada se suele denominar correlación cruzada y es una medida de similitud de dos señales , que se utiliza habitualmente para encontrar características en una señal desconocida comparándola con una conocida. Es una función del tiempo relativo entre las señales, a veces se denomina producto escalar deslizante y tiene aplicaciones en el reconocimiento de patrones y el criptoanálisis .

Covarianza cruzada de vectores aleatorios

Covarianza cruzada de procesos estocásticos

La definición de covarianza cruzada de vectores aleatorios puede generalizarse a procesos estocásticos de la siguiente manera:

Definición

Sean y los procesos estocásticos. La función de covarianza cruzada de los procesos se define por: ^{[1] : p.172} ${\displaystyle \{X(t)\}}$ ${\displaystyle \{Y(t)\}}$ ${\displaystyle K_{XY}}$

donde y . ${\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {E} \left[X(t)\right]}$ ${\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} \left[Y(t)\right]}$

Si los procesos son procesos estocásticos de valor complejo , el segundo factor debe ser complejo conjugado :

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right){\overline {\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)}}\right]}$

Definición de procesos conjuntos de WSS

Si y son estacionarios en sentido amplio en conjunto , entonces lo siguiente es verdadero: ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$

${\displaystyle \mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}}$Para todos , ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

${\displaystyle \mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}}$a pesar de ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

y

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1},0)}$a pesar de ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

Al establecer (el desfase temporal, o la cantidad de tiempo en que se ha desplazado la señal), podemos definir ${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1})\triangleq \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})}$.

Por lo tanto, la función de covarianza cruzada de dos procesos WSS conjuntos viene dada por:

que es equivalente a

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t+\tau },Y_{t})=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{X})(Y_{t}-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }Y_{t}]-\mu _{X}\mu _{Y}}$.

Falta de correlación

Dos procesos estocásticos y se denominan no correlacionados si su covarianza es cero para todos los tiempos. ^{[1] : p.142} Formalmente: ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$.

Covarianza cruzada de señales deterministas

La covarianza cruzada también es relevante en el procesamiento de señales , donde la covarianza cruzada entre dos procesos aleatorios estacionarios de sentido amplio se puede estimar promediando el producto de las muestras medidas de un proceso y las muestras medidas del otro (y sus desplazamientos temporales). Las muestras incluidas en el promedio pueden ser un subconjunto arbitrario de todas las muestras de la señal (por ejemplo, muestras dentro de una ventana de tiempo finita o un submuestreo de una de las señales). Para una gran cantidad de muestras, el promedio converge a la covarianza verdadera.

La covarianza cruzada también puede referirse a una covarianza cruzada "determinista" entre dos señales. Esto consiste en sumar todos los índices temporales. Por ejemplo, para señales de tiempo discreto , la covarianza cruzada se define como ${\displaystyle f[k]}$ ${\displaystyle g[k]}$

${\displaystyle (f\star g)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[k]}}g[n+k]=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[k-n]}}g[k]}$

donde la línea indica que se toma el conjugado complejo cuando las señales tienen valores complejos .

Para funciones continuas y la covarianza cruzada (determinista) se define como ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle (f\star g)(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int {\overline {f(t)}}g(x+t)\,dt=\int {\overline {f(t-x)}}g(t)\,dt}$.

Propiedades

La covarianza cruzada (determinista) de dos señales continuas está relacionada con la convolución por

${\displaystyle (f\star g)(t)=({\overline {f(-\tau )}}*g(\tau ))(t)}$

y la covarianza cruzada (determinista) de dos señales de tiempo discreto está relacionada con la convolución discreta por

${\displaystyle (f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]}$.

Véase también

• Autocovarianza
• Autocorrelación
• Correlación
• Circunvolución
• Correlación cruzada

Referencias

1. Kun Il Park, Fundamentos de probabilidad y procesos estocásticos con aplicaciones a las comunicaciones, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3

Enlaces externos

• Correlación cruzada de Mathworld
• http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html
• http://www.phys.ufl.edu/LIGO/stochastic/sign05.pdf
• http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf