Criterio de rendimiento de von Mises

Teoría de fallos en mecánica de medios continuos

En mecánica de medios continuos , el criterio de máxima energía de distorsión (también criterio de fluencia de von Mises ^[1] ) establece que la fluencia de un material dúctil comienza cuando el segundo invariante de la tensión desviatoria alcanza un valor crítico. ^[2] Es una parte de la teoría de la plasticidad que se aplica principalmente a materiales dúctiles, como algunos metales . Antes de la fluencia , se puede suponer que la respuesta del material tiene un comportamiento elástico lineal , elástico no lineal o viscoelástico . ${\displaystyle J_{2}}$

En la ciencia y la ingeniería de materiales , el criterio de fluencia de von Mises también se formula en términos de la tensión de von Mises o tensión de tracción equivalente , . Este es un valor escalar de tensión que se puede calcular a partir del tensor de tensión de Cauchy . En este caso, se dice que un material comienza a ceder cuando la tensión de von Mises alcanza un valor conocido como resistencia a la fluencia , . La tensión de von Mises se utiliza para predecir la fluencia de materiales bajo cargas complejas a partir de los resultados de pruebas de tracción uniaxiales . La tensión de von Mises satisface la propiedad donde dos estados de tensión con igual energía de distorsión tienen una tensión de von Mises igual. ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

Debido a que el criterio de fluencia de von Mises es independiente del primer invariante de tensión , , es aplicable para el análisis de la deformación plástica de materiales dúctiles como los metales, ya que el inicio de la fluencia para estos materiales no depende del componente hidrostático del tensor de tensión . ${\displaystyle I_{1}}$

Aunque se ha creído que fue formulado por James Clerk Maxwell en 1865, Maxwell sólo describió las condiciones generales en una carta a William Thomson (Lord Kelvin). ^[3] Richard Edler von Mises lo formuló rigurosamente en 1913. ^{[2] [4]} Tytus Maksymilian Huber (1904), en un artículo escrito en polaco, anticipó en cierta medida este criterio al confiar correctamente en la energía de deformación de distorsión, no en la energía de deformación total como sus predecesores. ^{[5] [6] [7]} Heinrich Hencky formuló el mismo criterio que von Mises de forma independiente en 1924. ^[8] Por las razones anteriores, este criterio también se conoce como la "teoría de Maxwell-Huber-Hencky-von Mises".

Formulación matemática

Las superficies de fluencia de von Mises en coordenadas de tensión principal circunscriben un cilindro con radio alrededor del eje hidrostático. También se muestra la superficie de fluencia hexagonal de Tresca . ${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$

Matemáticamente el criterio de rendimiento de von Mises se expresa como:

${\displaystyle J_{2}=k^{2}\,\!}$

Aquí se muestra la tensión de fluencia del material en cizallamiento puro. Como se muestra más adelante en este artículo, al comienzo de la fluencia, la magnitud de la tensión de fluencia en cizallamiento puro es √3 veces menor que la tensión de fluencia en tracción en el caso de tracción simple. Por lo tanto, tenemos: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}}$

donde es la resistencia a la fluencia por tracción del material. Si igualamos la tensión de von Mises a la resistencia a la fluencia y combinamos las ecuaciones anteriores, el criterio de fluencia de von Mises se escribe como: ${\displaystyle \sigma _{y}}$

${\displaystyle \sigma _{v}=\sigma _{y}={\sqrt {3J_{2}}}}$

o

${\displaystyle \sigma _{v}^{2}=3J_{2}=3k^{2}}$

Sustituyendo con los componentes del tensor de tensión de Cauchy , obtenemos ${\displaystyle J_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{v}}^{2}={\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6\left(\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}+\sigma _{12}^{2}\right)\right]={\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}$,

donde se denomina tensión desviadora. Esta ecuación define la superficie de fluencia como un cilindro circular (ver figura) cuya curva de fluencia, o intersección con el plano desviador, es un círculo con radio , o . Esto implica que la condición de fluencia es independiente de las tensiones hidrostáticas. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}k}$ ${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$

Ecuación de von Mises reducida para diferentes condiciones de estrés

Criterio de fluencia de von Mises en condiciones de carga 2D (planar): si la tensión en la tercera dimensión es cero ( ), no se prevé que se produzca fluencia para las coordenadas de tensión dentro del área roja. Debido a que el criterio de Tresca para fluencia se encuentra dentro del área roja, el criterio de von Mises es más laxo. ${\displaystyle \sigma _{3}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Estrés uniaxial (1D)

En el caso de tensión uniaxial o tensión simple, , el criterio de von Mises simplemente se reduce a ${\displaystyle \sigma _{1}\neq 0,\sigma _{3}=\sigma _{2}=0}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\text{y}}\,\!}$,

lo que significa que el material comienza a ceder cuando alcanza la resistencia al límite elástico del material , de acuerdo con la definición de resistencia al límite elástico (o compresión). ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

Estrés multiaxial (2D o 3D)

Se utiliza una tensión de tracción equivalente o tensión de von-Mises equivalente para predecir la fluencia de materiales en condiciones de carga multiaxial utilizando resultados de pruebas de tracción uniaxiales simples. Por lo tanto, definimos ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{v}}&={\sqrt {3J_{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+\left(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}}\end{aligned}}\,\!}$

¿Dónde están los componentes del tensor desviador de tensión ? ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)}{3}}\mathbf {I} \,\!}$.

En este caso, la fluencia se produce cuando la tensión equivalente, , alcanza la resistencia a la fluencia del material en tracción simple, . A modo de ejemplo, el estado de tensión de una viga de acero en compresión difiere del estado de tensión de un eje de acero bajo torsión, incluso si ambas muestras son del mismo material. En vista del tensor de tensión, que describe completamente el estado de tensión, esta diferencia se manifiesta en seis grados de libertad , porque el tensor de tensión tiene seis componentes independientes. Por lo tanto, es difícil decir cuál de las dos muestras está más cerca del punto de fluencia o incluso lo ha alcanzado. Sin embargo, mediante el criterio de fluencia de von Mises, que depende únicamente del valor de la tensión escalar de von Mises, es decir, un grado de libertad, esta comparación es sencilla: un valor de von Mises mayor implica que el material está más cerca del punto de fluencia. ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

En el caso de esfuerzo cortante puro , , mientras que en todos los demás , el criterio de von Mises se convierte en: ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}=0}$

${\displaystyle \sigma _{12}=k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}\,\!}$.

Esto significa que, al comienzo de la fluencia, la magnitud de la tensión de corte en corte puro es 10 veces menor que la tensión de fluencia en el caso de tracción simple. El criterio de fluencia de von Mises para la tensión de corte puro, expresado en tensiones principales, es ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle (\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}=2\sigma _{y}^{2}\,\!}$

En el caso de la tensión en el plano principal, y , el criterio de von Mises se convierte en: ${\displaystyle \sigma _{3}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{23}=\sigma _{31}=0}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}^{2}=3k^{2}=\sigma _{y}^{2}\,\!}$

Esta ecuación representa una elipse en el plano . ${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}}$

Resumen

Interpretación física del criterio de fluencia de von Mises

Hencky (1924) ofreció una interpretación física del criterio de von Mises, sugiriendo que la fluencia comienza cuando la energía elástica de distorsión alcanza un valor crítico. ^[6] Por esta razón, el criterio de von Mises también se conoce como el criterio de máxima energía de deformación por distorsión. Esto proviene de la relación entre y la energía elástica de deformación por distorsión : ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle W_{\text{D}}}$

${\displaystyle W_{\text{D}}={\frac {J_{2}}{2G}}\,\!}$con el módulo de corte elástico . ${\displaystyle G={\frac {E}{2(1+\nu )}}\,\!}$

En 1937 ^[9] Arpad L. Nadai sugirió que la fluencia comienza cuando la tensión cortante octaédrica alcanza un valor crítico, es decir, la tensión cortante octaédrica del material en fluencia en tensión simple. En este caso, el criterio de fluencia de von Mises también se conoce como el criterio de tensión cortante octaédrica máxima en vista de la proporcionalidad directa que existe entre y la tensión cortante octaédrica, que por definición es ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle \tau _{\text{oct}}}$

${\displaystyle \tau _{\text{oct}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\,\!}$

Así que tenemos

${\displaystyle \tau _{\text{oct}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}\sigma _{\text{y}}\,\!}$

La densidad de energía de deformación consta de dos componentes: volumétrica o dialacional y distorsional. El componente volumétrico es responsable del cambio de volumen sin ningún cambio de forma. El componente distorsional es responsable de la deformación por cizallamiento o cambio de forma.

Uso práctico en ingeniería del criterio de fluencia de von Mises

Como se muestra en las ecuaciones anteriores, el uso del criterio de von Mises como criterio de fluencia solo es exactamente aplicable cuando las siguientes propiedades del material son isótropas y la relación entre la resistencia al rendimiento por corte y la resistencia al rendimiento por tracción tiene el siguiente valor: ^[10]

${\displaystyle {\frac {F_{sy}}{F_{ty}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0.577\!}$

Dado que ningún material tendrá esta relación con precisión, en la práctica es necesario aplicar criterio de ingeniería para decidir qué teoría de falla es la adecuada para un material determinado. Alternativamente, para el uso de la teoría de Tresca, la misma relación se define como 1/2.

El margen de rendimiento de seguridad se escribe como

${\displaystyle MS_{\text{yld}}={\frac {F_{y}}{\sigma _{\text{v}}}}-1}$

Véase también

• Superficie de rendimiento
• Ecuación de Huber
• Henri Tresca
• Esteban Timoshenko
• Teoría de Mohr-Coulomb
• Criterio de falla de Hoek-Brown
• Rendimiento (ingeniería)
• Estrés
• Cepa
• Elasticidad 3-D
• Criterio de rendimiento de Bigoni-Piccolroaz

Referencias

1. "Criterio de von Mises (Criterio de máxima energía de distorsión)". La ventaja del ingeniero . Consultado el 8 de febrero de 2018 .
2. von Mises, R. (1913). "Mechanik der festen Körper im plastisch-deformablen Zustand". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen . Clase matemática-física. 1913 (1): 582–592.
3. Jones, Robert Millard (2009). Teoría de la plasticidad por deformación, pág. 151, sección 4.5.6. Bull Ridge Corporation. ISBN 9780978722319. Recuperado el 11 de junio de 2017 .
4. Ford (1963). Mecánica avanzada de materiales . Londres: Longmans.
5. Huber, MT (1904). "Właściwa praca odkształcenia jako miara wytezenia materiału". Czasopismo Techniczne . 22 . Lwow.Traducido como "Trabajo específico de deformación como medida del esfuerzo material". Archivos de Mecánica . 56 : 173–190. 2004.
6. Hill, R. (1950). La teoría matemática de la plasticidad . Oxford: Clarendon Press.
7. Timoshenko, S. (1953). Historia de la resistencia de los materiales . Nueva York: McGraw-Hill.
8. Hencky, H. (1924). "Zur Theorie plastischer Deformationen und der hierdurch im Material hervorgerufenen Nachspannngen". Z. Angew. Matemáticas. Mec . 4 (4): 323–334. Código Bib : 1924ZaMM....4..323H. doi :10.1002/zamm.19240040405.
9. SMA Kazimi. (1982). Mecánica de sólidos. Tata McGraw-Hill. ISBN 0-07-451715-5 
10. Nadai, A. (1950). Teoría del flujo y fractura de sólidos . Nueva York: McGraw-Hill.