Criterio de normalidad de Serre

En álgebra, el criterio de normalidad de Serre , introducido por Jean-Pierre Serre , establece las condiciones necesarias y suficientes para que un anillo noetheriano conmutativo A sea un anillo normal . El criterio implica las dos condiciones siguientes para A :

• ${\displaystyle R_{k}:A_{\mathfrak {p}}}$es un anillo local regular para cualquier ideal primo de altura ≤ k . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• ${\displaystyle S_{k}:\operatorname {depth} A_{\mathfrak {p}}\geq \inf\{k,\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})\}}$para cualquier ideal primo . ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

La declaración es:

• A es un anillo de retención reducido . ${\displaystyle \Leftrightarrow R_{0},S_{1}}$
• A es un anillo de retención normal . ${\displaystyle \Leftrightarrow R_{1},S_{2}}$
• A es un anillo de Cohen-Macaulay para todos los k . ${\displaystyle \Leftrightarrow S_{k}}$

Los puntos 1 y 3 se desprenden trivialmente de las definiciones. El punto 2 es mucho más profundo.

Para un dominio integral, el criterio se debe a Krull. El caso general se debe a Serre.

Prueba

Suficiencia

(Según EGA IV _2. Teorema 5.8.6.)

Supóngase que A satisface S ₂ y R ₁ . Entonces A en particular satisface S ₁ y R ₀ ; por lo tanto, está reducido. Si son los ideales primos mínimos de A , entonces el anillo total de fracciones K de A es el producto directo de los campos de residuos : ver anillo total de fracciones de un anillo reducido . Eso significa que podemos escribir donde son idempotentes en y tales que . Ahora, si A es integralmente cerrado en K , entonces cada uno es integral sobre A y por lo tanto lo es en A ; en consecuencia, A es un producto directo de dominios integralmente cerrados Ae _i 's y hemos terminado. Por lo tanto, es suficiente mostrar que A es integralmente cerrado en K . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i},\,1\leq i\leq r}$ ${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}}_{i})=Q(A/{\mathfrak {p}}_{i})}$ ${\displaystyle 1=e_{1}+\dots +e_{r}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}}_{i})}$ ${\displaystyle e_{i}e_{j}=0,\,i\neq j}$ ${\displaystyle e_{i}}$

Para este fin, supongamos

${\displaystyle (f/g)^{n}+a_{1}(f/g)^{n-1}+\dots +a_{n}=0}$

donde todos los f , g , a _i están en A y g es además un divisor distinto de cero. Queremos demostrar:

${\displaystyle f\in gA}$.

Ahora bien, la condición S ₂ dice que es no mixto de altura uno; es decir, cada primo asociado de tiene altura uno. Esto se debe a que si tiene altura mayor que uno, entonces contendría un divisor distinto de cero en . Sin embargo, está asociado al ideal cero en por lo que solo puede contener divisores cero, véase aquí. Por la condición R ₁ , la localización es integralmente cerrada y por lo tanto , donde es el mapa de localización, ya que la ecuación integral persiste después de la localización. Si es la descomposición primaria , entonces, para cualquier i , el radical de es un primo asociado de y por lo tanto ; la igualdad aquí se debe a que es un - ideal primario . Por lo tanto, la afirmación es válida. ${\displaystyle gA}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A/gA}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A/gA}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A/gA}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \phi (f)\in \phi (g)A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \phi :A\to A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle gA=\cap _{i}{\mathfrak {q}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A/gA}$ ${\displaystyle f\in \phi ^{-1}({\mathfrak {q}}_{i}A_{\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Necesidad

Supóngase que A es un anillo normal . Para S ₂ , sea un primo asociado de para un divisor distinto de cero f ; necesitamos demostrar que tiene altura uno. Reemplazando A por una localización, podemos suponer que A es un anillo local con ideal máximo . Por definición, hay un elemento g en A tal que y . Pongamos y = g / f en el anillo total de fracciones. Si , entonces es un módulo fiel y es un módulo A finitamente generado ; en consecuencia, es integral sobre A y por tanto en A , una contradicción. Por lo tanto, o , lo que implica tiene altura uno ( teorema del ideal principal de Krull ). ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A/fA}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\{x\in A|xg\equiv 0{\text{ mod }}fA\}}$ ${\displaystyle g\not \in fA}$ ${\displaystyle y{\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A[y]}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y{\mathfrak {p}}=A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=f/gA}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Para R ₁ , argumentamos de la misma manera: sea un ideal primo de altura uno. Localizando en suponemos que es un ideal maximalista y el argumento similar al anterior muestra que es, de hecho, principal. Por lo tanto, A es un anillo local regular. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \square }$

Notas

1. Grothendieck y Dieudonné 1961, § 5.7.

Referencias

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 24 . doi :10.1007/bf02684322. SEÑOR  0199181.
• H. Matsumura, Álgebra conmutativa , 1970.