El criterio de Eisenstein

En matemáticas , el criterio de Eisenstein da una condición suficiente para que un polinomio con coeficientes enteros sea irreducible sobre números racionales , es decir, para que no sea factorizable en el producto de polinomios no constantes con coeficientes racionales.

Este criterio no es aplicable a todos los polinomios con coeficientes enteros irreducibles sobre los números racionales, pero permite en ciertos casos importantes demostrar la irreducibilidad con muy poco esfuerzo. Puede aplicarse directamente o después de la transformación del polinomio original.

Este criterio recibe su nombre de Gotthold Eisenstein . A principios del siglo XX, también se lo conocía como teorema de Schönemann-Eisenstein porque Theodor Schönemann fue el primero en publicarlo. ^[1]^[2]

Criterio

Supongamos que tenemos el siguiente polinomio con coeficientes enteros : $Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}.$

Si existe un número primo $p$ tal que se cumplen las tres condiciones siguientes:

$p$ divide cada $a i$ para $0 \leq i < n$ ,
$p$ no divide a $n,$ y
$p 2$ nodivide $a$ $0$ ,

entonces $Q$ es irreducible sobre los números racionales. También será irreducible sobre los enteros, a menos que todos sus coeficientes tengan un factor no trivial en común (en cuyo caso $Q$ como polinomio entero tendrá algún número primo, necesariamente distinto de $p$ , como factor irreducible). La última posibilidad puede evitarse haciendo primero $Q$ primitivo , dividiéndolo por el máximo común divisor de sus coeficientes (el contenido de $Q$ ). Esta división no cambia si $Q$ es reducible o no sobre los números racionales (ver Factorización por contenido de partes primitivas para más detalles), y no invalidará las hipótesis del criterio para $p$ (por el contrario, podría hacer que el criterio se cumpliera para algún primo, incluso si no lo hacía antes de la división).

Ejemplos

El criterio de Eisenstein puede aplicarse directamente (es decir, utilizando el polinomio original) o después de la transformación del polinomio original.

Directo (sin transformación)

Consideremos el polinomio $Q (x) = 3 x 4 + 15 x 2 + 10$ . Para que el criterio de Eisenstein se aplique a un número primo $p$ debe dividir ambos coeficientes no principales $15$ y $10$ , lo que significa que solo $p = 5$ podría funcionar, y de hecho lo hace ya que $5$ no divide al coeficiente principal $3$ , y su cuadrado $25$ no divide al coeficiente constante $10$ . Por lo tanto, se puede concluir que $Q$ es irreducible sobre $Q$ (y, como es primitivo, también sobre $Z$ $). Nótese que, como Q$ es de grado 4, esta conclusión no podría haberse establecido simplemente comprobando que $Q$ no tiene raíces racionales (lo que elimina posibles factores de grado 1), ya que también podría ser posible una descomposición en dos factores cuadráticos.

Indirecto (después de la transformación)

A menudo, el criterio de Eisenstein no se aplica a ningún número primo. Sin embargo, puede ser que se aplique (para algún número primo) al polinomio obtenido después de sustituir (para algún entero $a$ ) $x + a$ por $x$ . El hecho de que el polinomio después de la sustitución sea irreducible permite entonces concluir que el polinomio original también lo es. Este procedimiento se conoce como aplicar un desplazamiento .

Por ejemplo, si consideramos $H = x 2 + x + 2$ , en el que el coeficiente 1 de $x$ no es divisible por ningún primo, el criterio de Eisenstein no se aplica a $H$ . Pero si uno sustituye $x$ por $x + 3$ en $H$ , se obtiene el polinomio $x 2 + 7 x + 14$ , que satisface el criterio de Eisenstein para el número primo $7$ . Puesto que la sustitución es un automorfismo del anillo $Q [x]$ , el hecho de que obtengamos un polinomio irreducible después de la sustitución implica que teníamos originalmente un polinomio irreducible. En este ejemplo particular habría sido más sencillo argumentar que $H$ (al ser mónico de grado 2) solo podría ser reducible si tuviera una raíz entera, lo que obviamente no tiene; sin embargo, el principio general de intentar sustituciones para hacer que se aplique el criterio de Eisenstein es una forma útil de ampliar su alcance.

Otra posibilidad para transformar un polinomio de modo que satisfaga el criterio, que puede combinarse con la aplicación de un desplazamiento, es invertir el orden de sus coeficientes, siempre que su término constante sea distinto de cero (sin lo cual sería divisible por $x$ de todos modos). Esto es así porque tales polinomios son reducibles en $R [x]$ si y solo si son reducibles en $R [x, x -1]$ (para cualquier dominio integral $R$ ), y en ese anillo la sustitución de $x -1$ por $x$ invierte el orden de los coeficientes (de una manera simétrica respecto del coeficiente constante, pero un desplazamiento posterior en el exponente equivale a una multiplicación por una unidad). Como ejemplo, $2 x 5 - 4 x 2 - 3$ satisface el criterio para $p = 2$ después de invertir sus coeficientes y (al ser primitivo) es, por lo tanto, irreducible en $Z [x]$ .

Polinomios ciclotómicos

Una clase importante de polinomios cuya irreducibilidad puede establecerse utilizando el criterio de Eisenstein es la de los polinomios ciclotómicos para números primos $p$ . Un polinomio de este tipo se obtiene dividiendo el polinomio $x p - 1$ por el factor lineal $x - 1$ , correspondiente a su raíz obvia $1$ (que es su única raíz racional si $p > 2$ ): ${\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1.$

Aquí, como en el ejemplo anterior de $H$ , los coeficientes $1$ impiden que el criterio de Eisenstein se aplique directamente. Sin embargo, el polinomio satisfará el criterio para $p$ después de la sustitución de $x + 1$ por $x$ : esto da todos cuyos coeficientes no principales son divisibles por $p$ por propiedades de coeficientes binomiales , y cuyo coeficiente constante es igual a $p$ , y por lo tanto no divisible por $p$ $2$ . Una forma alternativa de llegar a esta conclusión es utilizar la identidad $($ $a$ $+$ $b$ $)$ $p$ $=$ $a$ $p$ $+$ $b$ $p$ que es válida en la característica $p$ (y que se basa en las mismas propiedades de coeficientes binomiales, y da lugar al endomorfismo de Frobenius ), para calcular la reducción módulo $p$ del cociente de polinomios: lo que significa que los coeficientes no principales del cociente son todos divisibles por $p$ ; La verificación restante de que el término constante del cociente es $p$ se puede hacer sustituyendo $1$ (en lugar de $x$ $+ 1$ ) por $x$ en la forma desarrollada $x$ $p$ $-1$ $+ ... +$ $x$ $+ 1$ . ${\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}=x^{p-1}+{\binom {p}{p-1}}x^{p-2}+\cdots +{\binom {p}{2}}x+{\binom {p}{1}},$ ${\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}\equiv {\frac {x^{p}+1^{p}-1}{x}}={\frac {x^{p}}{x}}=x^{p-1}{\pmod {p}},$

Historia

Theodor Schönemann fue el primero en publicar una versión del criterio, ^[1] en 1846 en el Diario de Crelle , ^[3] que dice en traducción

Que $(x - a) n + pF (x)$ será irreducible al módulo $p 2$ cuando $F (x)$ al módulo $p$ no contiene un factor $x - a$ .

Esta formulación ya incorpora un desplazamiento a $en$ lugar de $0$ ; la condición sobre $F (x)$ significa que $F (a)$ no es divisible por $p$ , y por lo tanto $pF (a)$ es divisible por $p$ pero no por $p 2$ . Como se dijo, no es del todo correcta ya que no hace suposiciones sobre el grado del polinomio $F (x)$ , de modo que el polinomio considerado no necesita ser del grado $n$ que su expresión sugiere; el ejemplo $x 2 + p (x 3 + 1) \equiv (x 2 + p)(px + 1) mod p 2$ , muestra que la conclusión no es válida sin dicha hipótesis. Suponiendo que el grado de $F (x)$ no excede $n$ , el criterio es correcto, sin embargo, y algo más fuerte que la formulación dada anteriormente, ya que si $(x - a) n + pF (x)$ es irreducible módulo $p 2$ , ciertamente no puede descomponerse en $Z [x]$ en factores no constantes.

Posteriormente, Eisenstein publicó una versión algo diferente en 1850, también en el Diario de Crelle. ^[4] Esta versión se lee en traducción

Cuando en un polinomio $F (x)$ en $x$ de grado arbitrario el coeficiente del término más alto es $1$ , y todos los coeficientes siguientes son números enteros (reales, complejos), en los que se divide un cierto número primo $m$ (real o complejo) , y cuando además el último coeficiente es igual a $εm$ , donde $ε$ denota un número no divisible por $m$ : entonces es imposible llevar $F (x)$ a la forma donde $μ$ $,$ $ν$ $\geq 1$ , $μ$ $+$ $ν$ $= deg($ $F$ $($ $x$ $))$ , y todos $a$ y $b$ son números enteros (reales o complejos); la ecuación $F$ $($ $x$ $) = 0$ es, por tanto, irreducible. $\left(x^{\mu }+a_{1}x^{\mu -1}+\cdots +a_{\mu }\right)\left(x^{\nu }+b_{1}x^{\nu -1}+\cdots +b_{\nu }\right)$

En este caso, los "números reales enteros" son los enteros ordinarios y los " números complejos enteros " son los enteros gaussianos ; de la misma manera, se deben interpretar los "números primos reales y complejos". La aplicación para la que Eisenstein desarrolló su criterio fue establecer la irreducibilidad de ciertos polinomios con coeficientes en los enteros gaussianos que surgen en el estudio de la división de la lemniscata en partes de igual longitud de arco.

Es de destacar que Schönemann y Eisenstein, una vez formulados sus respectivos criterios de irreducibilidad, los aplican inmediatamente para dar una prueba elemental de la irreducibilidad de los polinomios ciclotómicos para números primos, resultado que Gauss había obtenido en sus Disquisitiones Arithmeticae con una prueba mucho más complicada. De hecho, Eisenstein añade en una nota a pie de página que la única prueba de esta irreducibilidad que él conocía, aparte de la de Gauss, era la dada por Kronecker en 1845. Esto demuestra que no conocía las dos pruebas diferentes de esta afirmación que Schönemann había dado en su artículo de 1846, donde la segunda prueba se basaba en el criterio mencionado anteriormente. Esto es aún más sorprendente dado el hecho de que dos páginas más adelante, Eisenstein se refiere de hecho (por un asunto diferente) a la primera parte del artículo de Schönemann. En una nota ("Notiz") que apareció en el número siguiente del Journal, ^[5] Schönemann le señala esto a Eisenstein e indica que el método de este último no es esencialmente diferente del que utilizó en la segunda prueba.

Prueba básica

Para probar la validez del criterio, supongamos que $Q$ satisface el criterio para el número primo $p$ , pero que sin embargo es reducible en $Q [x]$ , de donde deseamos obtener una contradicción. Del lema de Gauss se sigue que $Q$ es reducible también en $Z [x]$ y, de hecho, puede escribirse como el producto $Q = GH$ de dos polinomios no constantes $G, H$ (en caso de que $Q$ no sea primitivo, se aplica el lema al polinomio primitivo $Q / c$ (donde el entero $c$ es el contenido de $Q$ ) para obtener una descomposición para él, y se multiplica $c$ por uno de los factores para obtener una descomposición para $Q$ ). Ahora se reduce $Q = GH$ módulo $p$ para obtener una descomposición en $(Z / p Z)[x]$ . Pero por hipótesis, esta reducción para $Q$ deja su término principal, de la forma $ax n$ para una constante distinta de cero $a \in Z / p Z$ , como el único término distinto de cero. Pero entonces necesariamente las reducciones módulo $p$ de $G$ y $H$ también hacen que todos los términos no principales se anulen (y no pueden hacer que sus términos principales se anulen), ya que no son posibles otras descomposiciones de $ax n$ en $(Z / p Z)[x]$ , que es un dominio de factorización único . En particular, los términos constantes de $G$ y $H$ se anulan en la reducción, por lo que son divisibles por $p$ , pero entonces el término constante de $Q$ , que es su producto, es divisible por $p 2$ , contrariamente a la hipótesis, y se tiene una contradicción.

Una segunda demostración del criterio de Eisenstein también parte del supuesto de que el polinomio $Q (x)$ es reducible. Se demuestra que este supuesto entraña una contradicción.

El supuesto de que es reducible significa que hay polinomios tales que El coeficiente $a$ $0$ del polinomio $Q$ $($ $x$ $)$ puede dividirse por el primo $p$ pero no por $p$ $2$ . Como $a$ $0$ $=$ $c$ $0$ $d$ $0$ , es posible dividir $c$ $0$ o $d$ $0$ por $p$ , pero no ambos. Se puede proceder sin pérdida de generalidad $Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ ${\begin{aligned}G(x)&=c_{r}x^{r}+c_{r-1}x^{r-1}+\cdots +c_{0}&&r\geq 1\\H(x)&=d_{s}x^{s}+d_{s-1}x^{s-1}+\cdots +d_{0}&&s\geq 1\end{aligned}}$ $Q(x)=G(x)\cdot H(x),\qquad n=r+s.$

con un coeficiente $c 0$ que puede ser dividido por $p$ y
con un coeficiente $d 0$ que no se puede dividir por $p$ .

Por el supuesto, no divide a . Como $a$ $n$ $=$ $c$ $r$ $d$ $s$ , ni $c$ $r$ ni $d$ $s$ pueden dividirse por $p$ . Por lo tanto, si es el -ésimo coeficiente del polinomio reducible , entonces (posiblemente con en el caso ) donde no puede dividirse por , porque ni ni pueden dividirse por . ${\estilo de visualización p}$ $a_{n}$ $a_{r}$ ${\estilo de visualización r}$ ${\estilo de visualización Q}$ $d_{t}=0$ $t>s$ $a_{r}=c_{r}d_{0}+c_{r-1}d_{1}+\cdots +c_{0}d_{r}$ $estilo de visualización c_{r}d_{0}}$ ${\estilo de visualización p}$ $estilo de visualización d_{0}}$ $estilo de visualización c_{r}}$ ${\estilo de visualización p}$

Probaremos que son todos divisibles por $p$ . Como también es divisible por $p$ (por hipótesis del criterio), esto implica que es divisible por $p$ , una contradicción que prueba el criterio. $c_{0},c_{1},\ldots ,c_{r-1}$ $a_{r}$ $c_{r}d_{0}=a_{r}-\left(c_{r-1}d_{1}+\cdots +c_{0}d_{r}\right)$

Es posible dividir por , porque se puede dividir por . $estilo de visualización c_{0}d_{r}}$ ${\estilo de visualización p}$ $estilo de visualización c_{0}}$ ${\estilo de visualización p}$

Por suposición inicial, es posible dividir el coeficiente $a 1$ del polinomio $Q (x)$ por $p$ . Como y como $d$ $0$ no es múltiplo de $p ,$ debe ser posible dividir $c$ $1$ por $p$ . Análogamente, por inducción, es múltiplo de para todo , con lo que finaliza la demostración. $a_{1}=c_{0}d_{1}+c_{1}d_{0}$ $Estilo de visualización c_{i}}$ ${\estilo de visualización p}$ $i<r$

Explicación avanzada

Aplicando la teoría del polígono de Newton para el cuerpo de números $p$ -ádicos , para un polinomio de Eisenstein, se supone que debemos tomar la envolvente convexa inferior de los puntos

(0, 1), (1, v 1), (2, v 2), ..., (n - 1, v n -1), (n, 0)

donde $v i$ es la valoración p -ádica de $a i$ (es decir, la potencia más alta de $p$ que lo divide). Ahora bien, los datos que nos dan sobre $v i$ para $0 < i < n$ , es decir, que son al menos uno, son justo lo que necesitamos para concluir que la envolvente convexa inferior es exactamente el segmento de línea único de $(0, 1)$ a $(n, 0)$ , siendo la pendiente $-1/ n$ .

Esto nos dice que cada raíz de $Q$ tiene una valoración $p -ádica de$ $1/ n$ y, por lo tanto, que $Q$ es irreducible sobre el campo $p$ -ádico (ya que, por ejemplo, ningún producto de ningún subconjunto propio de las raíces tiene una valoración entera); y a fortiori sobre el campo de los números racionales.

Este argumento es mucho más complicado que el argumento directo por reducción mod $p$ . Sin embargo, permite ver, en términos de la teoría algebraica de números , con qué frecuencia podría aplicarse el criterio de Eisenstein, después de algún cambio de variable; y, por lo tanto, limitar severamente las posibles elecciones de $p$ con respecto a las cuales el polinomio podría tener una traducción de Eisenstein (es decir, convertirse en Eisenstein después de un cambio aditivo de variables como en el caso del $p$ -ésimo polinomio ciclotómico).

De hecho, solo los primos $que$ ramifican en la extensión de $Q$ generada por una raíz de $Q$ tienen alguna posibilidad de funcionar. Estos se pueden encontrar en términos del discriminante de $Q.$ Por ejemplo, en el caso $x 2 + x + 2$ dado anteriormente, el discriminante es $-7,$ de modo que $7$ es el único primo que tiene una posibilidad de hacer que satisfaga el criterio. Módulo $7$ , se convierte en $(x - 3) 2$ — una raíz repetida es inevitable, ya que el discriminante es $0 mod 7.$ Por lo tanto, el desplazamiento de la variable es en realidad algo predecible.

Nuevamente, para el polinomio ciclotómico, se convierte en

(x - 1) p -1 módulo p

;

Se puede demostrar que el discriminante es (hasta el signo) $p p -2$ , mediante métodos de álgebra lineal .

Más precisamente, sólo los primos totalmente ramificados tienen una posibilidad de ser primos de Eisenstein para el polinomio. (En cuerpos cuadráticos, la ramificación es siempre total, por lo que la distinción no se ve en el caso cuadrático como $x 2 + x + 2$ arriba). De hecho, los polinomios de Eisenstein están directamente vinculados a los primos totalmente ramificados, de la siguiente manera: si una extensión de cuerpo de los racionales es generada por la raíz de un polinomio que es Eisenstein en $p$ entonces $p$ está totalmente ramificado en la extensión, y a la inversa, si $p$ está totalmente ramificado en un cuerpo de números entonces el cuerpo es generado por la raíz de un polinomio de Eisenstein en $p$ . ^[6]

Generalización

Criterio generalizado

Dado un dominio integral $D$ , sea un elemento de $D$ $[$ $x$ $]$ , el anillo polinomial con coeficientes en $D$ . $Q=\suma _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$

Supóngase que existe un ideal primo $p$ de $D$ tal que

$a i \in p$ para cada $i \neq n$ ,
$a n \notin p$ , y
$a 0 \notin p 2$ , donde $p 2$ es el producto ideal de $p$ consigo mismo.

Entonces $Q$ no puede escribirse como un producto de dos polinomios no constantes en $D [x]$ . Si además $Q$ es primitivo (es decir, no tiene divisores constantes no triviales ), entonces es irreducible en $D [x]$ . Si $D$ es un dominio de factorización único con cuerpo de fracciones $F$ , entonces por el lema de Gauss $Q$ es irreducible en $F [x]$ , sea o no primitivo (ya que los factores constantes son invertibles en $F [x]$ ); en este caso una posible elección de ideal primo es el ideal principal generado por cualquier elemento irreducible de $D$ . La última afirmación da el teorema original para $D = Z$ o (en la formulación de Eisenstein) para $D = Z [i]$ .

Prueba

La prueba de esta generalización es similar a la del enunciado original, considerando la reducción de los coeficientes módulo $p$ ; el punto esencial es que un polinomio de un solo término sobre el dominio integral $D / p$ no puede descomponerse como un producto en el que al menos uno de los factores tiene más de un término (porque en tal producto no puede haber cancelación en el coeficiente ni del grado más alto ni del más bajo posible).

Ejemplo

Después de $Z$ , uno de los ejemplos básicos de un dominio integral es el anillo de polinomios $D = k [u]$ en la variable $u$ sobre el cuerpo $k$ . En este caso, el ideal principal generado por $u$ es un ideal primo. El criterio de Eisenstein puede entonces usarse para probar la irreducibilidad de un polinomio como $Q (x) = x 3 + ux + u$ en $D [x]$ . En efecto, $u$ no divide $a 3$ , $u 2$ no divide $a 0$ , y $u$ divide $a 0, a 1$ y $a 2$ . Esto muestra que este polinomio satisface las hipótesis de la generalización del criterio de Eisenstein para el ideal primo $p = (u)$ ya que, para un ideal principal $(u)$ , ser un elemento de $(u)$ es equivalente a ser divisible por $u$ .

Véase también

Notas

^ por Cox (2011).
^ Dorwart (1935).
^ Schönemann (1846), pág. 100.
^ Eisenstein (1850), pág. 166.
^ Schönemann (1850), pág. 188.
^ Cassels & Fröhlich (1967), págs. 22-23, "Campos locales".

Referencias

Cassels, JWS; Fröhlich, Albert, eds. (1967), Teoría algebraica de números..
Cox, David A. (2011), "Por qué Eisenstein demostró el criterio de Eisenstein y por qué Schönemann lo descubrió primero", American Mathematical Monthly , 118 (1): 3–31, CiteSeerX 10.1.1.398.3440 , doi :10.4169/amer.math.monthly.118.01.003, S2CID 15978494.
Dorwart, HL (1935), "Irreducibilidad de polinomios", American Mathematical Monthly , 42 (6): 369–381, doi :10.2307/2301357, JSTOR 2301357.
Eisenstein, Gotthold (1850), "Über die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhängt", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1850 (39): 160–179, doi :10.1515/crll .1850.39.160, S2CID 122322672.
Garling, DJH (1986), Un curso de teoría de Galois , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-31249-3.
"Ecuación algebraica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994].
Schönemann, Theodor (1846), "Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1846 (32): 93–118, doi :10.1515/crll.1846.32.93, S2CID 120510090.
Schönemann, Theodor (1850), "Über einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestellte Lehrsätze, irreductible Congruenzen betreffend (S.182 Bd. 39 dieses Journals)", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1850 (40): 185–188, doi :10.1515/crll.1850.40.185, S2CID 199547075.