En matemáticas , dos objetos, especialmente sistemas de axiomas o semántica para ellos, se denominan criptomórficos si son equivalentes pero no obviamente equivalentes. En particular, dos definiciones o axiomatizaciones del mismo objeto son "criptomórficas" si no es obvio que definen el mismo objeto. Los ejemplos de definiciones criptomórficas abundan en la teoría de matroides y se pueden encontrar otros en otros lugares, por ejemplo, en la teoría de grupos la definición de un grupo mediante una única operación de división, que no es obviamente equivalente a las tres "operaciones" habituales de elemento identidad, inversa y multiplicación.
Esta palabra es un juego de palabras con los muchos morfismos que existen en las matemáticas, pero "criptomorfismo" está relacionado sólo de manera muy lejana con " isomorfismo ", " homomorfismo " o "morfismos". La equivalencia puede, en un criptomorfismo, si no es una identidad real, ser informal o puede formalizarse en términos de una biyección o equivalencia de categorías entre los objetos matemáticos definidos por los dos sistemas axiomáticos criptomórficos.
La palabra fue acuñada por Garrett Birkhoff antes de 1967, para su uso en la tercera edición de su libro Lattice Theory . Birkhoff no le dio una definición formal, aunque otros que trabajan en el campo han hecho algunos intentos desde entonces.
Su sentido informal fue popularizado (y ampliado enormemente en su alcance) por Gian-Carlo Rota en el contexto de la teoría de los matroides : hay docenas de enfoques axiomáticos equivalentes a los matroides, pero dos sistemas diferentes de axiomas a menudo parecen muy diferentes.
En su libro de 1997, Pensamientos indiscretos , Rota describe la situación de la siguiente manera:
Como muchas otras grandes ideas, la teoría de los matroides fue inventada por uno de los grandes pioneros estadounidenses, Hassler Whitney . Su artículo, que todavía hoy es la mejor introducción al tema, revela flagrantemente la peculiaridad única de este campo, a saber, la excepcional variedad de definiciones criptomórficas para un matroide, vergonzosamente no relacionadas entre sí y que exhiben pedigríes matemáticos completamente diferentes. Es como si uno tuviera que condensar todas las tendencias de las matemáticas actuales en una única estructura finita, una hazaña que cualquiera consideraría a priori imposible, si no fuera por el hecho de que los matroides existen.
Aunque existen muchos conceptos criptomórficos en matemáticas fuera de la teoría matroide y el álgebra universal , la palabra no ha tenido éxito entre los matemáticos en general. Sin embargo, su uso es bastante amplio entre los investigadores de la teoría matroide.