Transformación covariante

Concepto de física

En física , una transformación covariante es una regla que especifica cómo cambian ciertas entidades, como vectores o tensores , bajo un cambio de base . La transformación que describe los nuevos vectores base como una combinación lineal de los antiguos vectores base se define como una transformación covariante . Convencionalmente, los índices que identifican los vectores base se colocan como índices inferiores y, por lo tanto, todas las entidades que se transforman de la misma manera. La inversa de una transformación covariante es una transformación contravariante . Siempre que un vector deba ser invariante bajo un cambio de base, es decir, debe representar el mismo objeto geométrico o físico que tiene la misma magnitud y dirección que antes, sus componentes deben transformarse de acuerdo con la regla contravariante. Convencionalmente, los índices que identifican los componentes de un vector se colocan como índices superiores y, por lo tanto, todos los índices de entidades que se transforman de la misma manera. La suma sobre índices coincidentes por pares de un producto con los mismos índices inferior y superior es invariante bajo una transformación.

Un vector en sí mismo es una cantidad geométrica, en principio, independiente (invariante) de la base elegida. Un vector v se da, digamos, en componentes v ⁱ sobre una base elegida e _i . Sobre otra base, digamos e ′ _j , el mismo vector v tiene diferentes componentes v ′ ^j y Como vector, v debería ser invariante al sistema de coordenadas elegido e independiente de cualquier base elegida, es decir, su dirección y magnitud del "mundo real" deberían parecer las mismas independientemente de los vectores base. Si realizamos un cambio de base transformando los vectores e _i en los vectores base e ′ _j , también debemos asegurarnos de que los componentes v ⁱ se transformen en los nuevos componentes v ′ ^j para compensar. $${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i}v^{i}{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j}{v'\,}^{j}\mathbf {e} '_{j}.}$$

La transformación necesaria de v se llama regla de transformación contravariante .

• 
  Un vector v , y vectores base tangentes locales { e _x , e _y } y { e _r , e _φ } .
• 
  Representaciones de coordenadas de v .

En el ejemplo mostrado, un vector se describe mediante dos sistemas de coordenadas diferentes: un sistema de coordenadas rectangular (la cuadrícula negra) y un sistema de coordenadas radial (la cuadrícula roja). Se han elegido vectores base para ambos sistemas de coordenadas: e _x y e _y para el sistema de coordenadas rectangular, y e _r y e _φ para el sistema de coordenadas radial. Los vectores base radiales e _r y e _φ aparecen rotados en sentido antihorario con respecto a los vectores base rectangulares e _x y e _y . La transformación covariante, realizada en los vectores base, es por tanto una rotación en sentido antihorario, rotando desde los primeros vectores base a los segundos vectores base. ${\textstyle \mathbf {v} =\sum _{i\in \{x,y\}}v^{i}{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j\in \{r,\phi \}}{v'\,}^{j}\mathbf {e} '_{j}}$

Las coordenadas de v deben transformarse al nuevo sistema de coordenadas, pero el vector v en sí, como objeto matemático, permanece independiente de la base elegida, pareciendo apuntar en la misma dirección y con la misma magnitud, invariante al cambio de coordenadas. La transformación contravariante garantiza esto, al compensar la rotación entre las diferentes bases. Si vemos v desde el contexto del sistema de coordenadas radiales, parece estar rotado más en el sentido de las agujas del reloj desde los vectores base e _r y e _φ . en comparación con cómo parecía en relación con los vectores base rectangulares e _x y e _y . Por lo tanto, la transformación contravariante necesaria para v en este ejemplo es una rotación en el sentido de las agujas del reloj.

Ejemplos de transformación covariante

La derivada de una función se transforma covariantemente

La forma explícita de una transformación covariante se introduce mejor con las propiedades de transformación de la derivada de una función. Considere una función escalar f (como la temperatura en una ubicación en un espacio) definida en un conjunto de puntos p , identificables en un sistema de coordenadas dado (tal colección se llama variedad ). Si adoptamos un nuevo sistema de coordenadas , entonces para cada i , la coordenada original se puede expresar como una función de las nuevas coordenadas, por lo que Se puede expresar la derivada de f en las antiguas coordenadas en términos de las nuevas coordenadas, utilizando la regla de la cadena de la derivada, como ${\displaystyle x^{i},\;i=0,1,\dots }$ ${\displaystyle {x'}^{j},j=0,1,\dots }$ ${\displaystyle {x}^{i}}$ ${\displaystyle x^{i}\left({x'}^{j}\right),j=0,1,\dots }$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {x}^{i}}}={\frac {\partial f}{\partial {x'}^{j}}}\;{\frac {\partial {x'}^{j}}{\partial {x}^{i}}}}$

Esta es la forma explícita de la regla de transformación covariante . La notación de una derivada normal con respecto a las coordenadas a veces utiliza una coma, como sigue

${\displaystyle f_{,i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$

donde el índice i se coloca como un índice más bajo, debido a la transformación covariante.

Los vectores base se transforman covariantemente

Un vector se puede expresar en términos de vectores base. Para un determinado sistema de coordenadas, podemos elegir los vectores tangentes a la cuadrícula de coordenadas. Esta base se denomina base de coordenadas.

Para ilustrar las propiedades de transformación, considere nuevamente el conjunto de puntos p , identificables en un sistema de coordenadas dado donde ( variedad ). Una función escalar f , que asigna un número real a cada punto p en este espacio, es una función de las coordenadas . Una curva es una colección de puntos c con un parámetro , digamos con parámetro de curva λ, c (λ). Un vector tangente v a la curva es la derivada a lo largo de la curva con la derivada tomada en el punto p en consideración. Nótese que podemos ver el vector tangente v como un operador (la derivada direccional ) que se puede aplicar a una función ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle i=0,1,\dots }$ ${\displaystyle f\;\left(x^{0},x^{1},\dots \right)}$ ${\displaystyle dc/d\lambda }$

${\displaystyle \mathbf {v} [f]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {df}{d\lambda }}={\frac {d\;\;}{d\lambda }}f(c(\lambda ))}$

El paralelo entre el vector tangente y el operador también se puede calcular en coordenadas.

${\displaystyle \mathbf {v} [f]={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$

o en términos de operadores ${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {\partial \;\;}{\partial x^{i}}}={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}\mathbf {e} _{i}}$

donde hemos escrito , los vectores tangentes a las curvas que son simplemente la propia cuadrícula de coordenadas. ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial /\partial x^{i}}$

Si adoptamos un nuevo sistema de coordenadas , entonces para cada i , la coordenada anterior puede expresarse como función del nuevo sistema, por lo que sean los vectores base y tangentes en este nuevo sistema de coordenadas. Podemos expresar en el nuevo sistema aplicando la regla de la cadena sobre x . Como función de las coordenadas, encontramos la siguiente transformación ${\displaystyle {x'}^{i},\;i=0,1,\dots }$ ${\displaystyle {x^{i}}}$ ${\displaystyle x^{i}\left({x'}^{j}\right),j=0,1,\dots }$ ${\displaystyle \mathbf {e} '_{i}={\partial }/{\partial {x'}^{i}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {e} '_{i}={\frac {\partial }{\partial {x'}^{i}}}={\frac {\partial x^{j}}{\partial {x'}^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}={\frac {\partial x^{j}}{\partial {x'}^{i}}}\mathbf {e} _{j}}$

que de hecho es lo mismo que la transformación covariante para la derivada de una función.

Transformación contravariante

Los componentes de un vector (tangente) se transforman de una manera diferente, llamada transformación contravariante. Consideremos un vector tangente v y llamemos a sus componentes sobre una base . Sobre otra base llamamos a los componentes , por lo que ${\displaystyle v^{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} '_{i}}$ ${\displaystyle {v'}^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}={v'}^{i}\mathbf {e} '_{i}}$

En el cual

${\displaystyle v^{i}={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}\;{\mbox{ and }}\;{v'}^{i}={\frac {d{x'}^{i}}{d\lambda }}}$

Si expresamos los nuevos componentes en términos de los antiguos, entonces

${\displaystyle {v'}^{i}={\frac {d{x'}^{i}}{d\lambda \;\;}}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {dx^{j}}{d\lambda }}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{j}}}{v}^{j}}$

Esta es la forma explícita de una transformación llamada transformación contravariante y notamos que es diferente y simplemente la inversa de la regla covariante. Para distinguirlas de los vectores covariantes (tangentes), el índice se coloca en la parte superior.

Las formas diferenciales básicas se transforman contravariantemente

Un ejemplo de transformación contravariante lo da una forma diferencial df . Para f como función de coordenadas , df se puede expresar en términos de la base . Las diferenciales dx se transforman según la regla contravariante ya que ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle dx^{i}}$

${\displaystyle d{x'}^{i}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial {x}^{j}}}{dx}^{j}}$

Propiedades duales

Las entidades que se transforman de forma covariante (como los vectores base) y las que se transforman de forma contravariante (como los componentes de un vector y las formas diferenciales) son "casi iguales" y, sin embargo, son diferentes. Tienen propiedades "duales". Lo que hay detrás de esto se conoce matemáticamente como el espacio dual que siempre va de la mano con un espacio vectorial lineal dado .

Tome cualquier espacio vectorial T. Una función f en T se llama lineal si, para cualesquiera vectores v , w y escalar α:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} )\\f(\alpha \mathbf {v} )&=\alpha f(\mathbf {v} )\end{aligned}}}$

Un ejemplo sencillo es la función que asigna a un vector el valor de uno de sus componentes (llamada función de proyección ). Tiene un vector como argumento y asigna un número real, el valor de un componente.

Todas estas funciones lineales con valores escalares forman juntas un espacio vectorial, llamado espacio dual de T. La suma f+g es nuevamente una función lineal para f y g lineales , y lo mismo se aplica a la multiplicación escalar α f .

Dada una base para T, podemos definir una base, llamada base dual para el espacio dual de manera natural tomando el conjunto de funciones lineales mencionadas anteriormente: las funciones de proyección. Cada función de proyección (indexada por ω) produce el número 1 cuando se aplica a uno de los vectores base . Por ejemplo, da un 1 en y cero en el resto. Aplicando esta función lineal a un vector , se obtiene (utilizando su linealidad) ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \omega ^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$ ${\displaystyle {\omega }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \omega ^{0}(\mathbf {v} )=\omega ^{0}(v^{i}\mathbf {e} _{i})=v^{i}\omega ^{0}(\mathbf {e} _{i})=v^{0}}$

Por lo tanto, solo el valor de la primera coordenada. Por este motivo, se denomina función de proyección .

Hay tantos vectores base duales como vectores base , por lo que el espacio dual tiene la misma dimensión que el propio espacio lineal. Es "casi el mismo espacio", excepto que los elementos del espacio dual (llamados vectores duales ) se transforman de forma covariante y los elementos del espacio vectorial tangente se transforman de forma contravariante. ${\displaystyle \omega ^{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

A veces se introduce una notación adicional donde el valor real de una función lineal σ en un vector tangente u se da como

${\displaystyle \sigma [\mathbf {u} ]:=\langle \sigma ,\mathbf {u} \rangle }$

donde es un número real. Esta notación enfatiza el carácter bilineal de la forma. Es lineal en σ ya que es una función lineal y es lineal en u ya que es un elemento de un espacio vectorial. ${\displaystyle \langle \sigma ,\mathbf {u} \rangle }$

Componentes tensoriales covariantes y contravariantes

Sin coordenadas

Un tensor de tipo ( r , s ) puede definirse como una función multilineal de valor real de r vectores duales y s vectores. Dado que los vectores y los vectores duales pueden definirse sin depender de un sistema de coordenadas, un tensor definido de esta manera es independiente de la elección de un sistema de coordenadas.

La notación de un tensor es

${\displaystyle {\begin{aligned}&T\left(\sigma ,\ldots ,\rho ,\mathbf {u} ,\ldots ,\mathbf {v} \right)\\\equiv {}&{T^{\sigma \ldots \rho }}_{\mathbf {u} \ldots \mathbf {v} }\end{aligned}}}$

para vectores duales (formas diferenciales) ρ , σ y vectores tangentes . En la segunda notación la distinción entre vectores y formas diferenciales es más obvia. ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }$

Con coordenadas

Debido a que un tensor depende linealmente de sus argumentos, está completamente determinado si uno conoce los valores sobre una base y ${\displaystyle \omega ^{i}\ldots \omega ^{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\ldots \mathbf {e} _{l}}$

${\displaystyle T(\omega ^{i},\ldots ,\omega ^{j},\mathbf {e} _{k}\ldots \mathbf {e} _{l})={T^{i\ldots j}}_{k\ldots l}}$

Los números se denominan componentes del tensor en la base elegida . ${\displaystyle {T^{i\ldots j}}_{k\ldots l}}$

Si elegimos otra base (que es una combinación lineal de la base original), podemos usar las propiedades lineales del tensor y encontraremos que los componentes del tensor en los índices superiores se transforman como vectores duales (por lo tanto contravariantes), mientras que los índices inferiores se transformarán como la base de vectores tangentes y, por lo tanto, son covariantes. Para un tensor de rango 2, podemos verificar que

${\displaystyle {A'}_{ij}={\frac {\partial x^{l}}{\partial {x'}^{i}}}{\frac {\partial x^{m}}{\partial {x'}^{j}}}A_{lm}}$ tensor covariante

${\displaystyle {A'\,}^{ij}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{l}}}{\frac {\partial {x'}^{j}}{\partial x^{m}}}A^{lm}}$ tensor contravariante

Para un tensor mixto covariante y contravariante de rango 2

${\displaystyle {A'\,}^{i}{}_{j}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{l}}}{\frac {\partial x^{m}}{\partial {x'}^{j}}}A^{l}{}_{m}}$ Tensor mixto covariante y contravariante

Véase también

• Covarianza y contravarianza de vectores
• Covarianza general
• Covarianza de Lorentz