Coordenadas log-polares

En matemáticas , las coordenadas log-polares (o coordenadas polares logarítmicas ) son un sistema de coordenadas en dos dimensiones, donde un punto se identifica con dos números, uno para el logaritmo de la distancia a un punto determinado y otro para un ángulo . Las coordenadas log-polares están estrechamente relacionadas con las coordenadas polares , que suelen usarse para describir dominios en el plano con algún tipo de simetría rotacional . En áreas como el análisis armónico y complejo , las coordenadas log-polares son más canónicas que las coordenadas polares.

Definición y transformaciones de coordenadas

Las coordenadas log-polares en el plano consisten en un par de números reales (ρ,θ), donde ρ es el logaritmo de la distancia entre un punto dado y el origen y θ es el ángulo entre una línea de referencia (el eje x ) y la línea que pasa por el origen y el punto. La coordenada angular es la misma que para las coordenadas polares, mientras que la coordenada radial se transforma de acuerdo con la regla

${\displaystyle r=e^{\rho }}$.

donde es la distancia al origen. Las fórmulas para la transformación de coordenadas cartesianas a coordenadas log-polares están dadas por ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{cases}\rho =\ln \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right),\\\theta =\operatorname {atan2} (y,\,x).\end{cases}}}$

y las fórmulas para la transformación de coordenadas log-polares a cartesianas son

${\displaystyle {\begin{cases}x=e^{\rho }\cos \theta ,\\y=e^{\rho }\sin \theta .\end{cases}}}$

Al utilizar números complejos ( x ,  y ) =  x  +  iy , la última transformación se puede escribir como

${\displaystyle x+iy=e^{\rho +i\theta }}$

es decir, la función exponencial compleja. De esto se deduce que las ecuaciones básicas en el análisis armónico y complejo tendrán la misma forma simple que en las coordenadas cartesianas. Este no es el caso de las coordenadas polares.

Algunas ecuaciones importantes en coordenadas log-polares

Ecuación de Laplace

La ecuación de Laplace en dos dimensiones está dada por

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$

en coordenadas cartesianas. Al escribir la misma ecuación en coordenadas polares se obtiene la ecuación más complicada

${\displaystyle r{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0}$

o equivalentemente

${\displaystyle \left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{2}u+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0}$

Sin embargo, de la relación se deduce que la ecuación de Laplace en coordenadas log-polares, ${\displaystyle r=e^{\rho }}$ ${\displaystyle r{\frac {\partial }{\partial r}}={\frac {\partial }{\partial \rho }}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \rho ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0}$

tiene la misma expresión simple que en coordenadas cartesianas. Esto es cierto para todos los sistemas de coordenadas donde la transformación a coordenadas cartesianas se da mediante una aplicación conforme . Por lo tanto, al considerar la ecuación de Laplace para una parte del plano con simetría rotacional, por ejemplo, un disco circular, las coordenadas log-polares son la opción natural.

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Una situación similar surge cuando se consideran funciones analíticas . Una función analítica escrita en coordenadas cartesianas satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann: ${\displaystyle f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$

Si la función, en cambio, se expresa en forma polar , las ecuaciones de Cauchy-Riemann toman la forma más complicada ${\displaystyle f(re^{i\theta })=Re^{i\Phi }}$

${\displaystyle r{\frac {\partial \log R}{\partial r}}={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial \log R}{\partial \theta }}=-r{\frac {\partial \Phi }{\partial r}},}$

Al igual que en el caso de la ecuación de Laplace, la forma simple de coordenadas cartesianas se recupera cambiando las coordenadas polares a log-polares (sea ): ${\displaystyle P=\log R}$

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial \rho }}={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial P}{\partial \theta }}=-{\frac {\partial \Phi }{\partial \rho }}}$

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann también se pueden escribir en una sola ecuación como

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)f(x+iy)=0}$

Expresando y en términos de y esta ecuación se puede escribir en la forma equivalente ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \rho }}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial \rho }}+i{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f(e^{\rho +i\theta })=0}$

Ecuación de Euler

Cuando se quiere resolver el problema de Dirichlet en un dominio con simetría rotacional, lo habitual es utilizar el método de separación de variables para ecuaciones diferenciales parciales para la ecuación de Laplace en forma polar. Esto significa que se escribe . La ecuación de Laplace se separa entonces en dos ecuaciones diferenciales ordinarias ${\displaystyle u(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )}$

${\displaystyle {\begin{cases}\Theta ''(\theta )+\nu ^{2}\Theta (\theta )=0\\r^{2}R''(r)+rR'(r)-\nu ^{2}R(r)=0\end{cases}}}$

donde es una constante. La primera de ellas tiene coeficientes constantes y se resuelve fácilmente. La segunda es un caso especial de la ecuación de Euler. ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle r^{2}R''(r)+crR'(r)+dR(r)=0}$

donde son constantes. Esta ecuación se suele resolver con el ansatz , pero mediante el uso del radio log-polar, se puede transformar en una ecuación con coeficientes constantes: ${\displaystyle c,d}$ ${\displaystyle R(r)=r^{\lambda }}$

${\displaystyle P''(\rho )+(c-1)P'(\rho )+dP(\rho )=0}$

Al considerar la ecuación de Laplace, y por lo tanto la ecuación para toma la forma simple ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle d=-\nu ^{2}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle P''(\rho )-\nu ^{2}P(\rho )=0}$

Al resolver el problema de Dirichlet en coordenadas cartesianas, estas son exactamente las ecuaciones para y . Por lo tanto, una vez más, la elección natural para un dominio con simetría rotacional no son las coordenadas polares, sino las coordenadas log-polares. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Geometría discreta

Sistema de coordenadas discreto en un disco circular dado por coordenadas log-polares ( n  = 25)

Sistema de coordenadas discreto en un disco circular que puede expresarse fácilmente en coordenadas log-polares ( n  = 25)

Parte de un fractal de Mandelbrot que muestra un comportamiento espiral

Para resolver numéricamente una EDP en un dominio, se debe introducir un sistema de coordenadas discreto en este dominio. Si el dominio tiene simetría rotacional y se desea una cuadrícula formada por rectángulos, las coordenadas polares son una mala elección, ya que en el centro del círculo se dan triángulos en lugar de rectángulos. Sin embargo, esto se puede remediar introduciendo coordenadas log-polares de la siguiente manera. Se divide el plano en una cuadrícula de cuadrados con una longitud de lado de 2 / n , donde n es un entero positivo. Se utiliza la función exponencial compleja para crear una cuadrícula log-polar en el plano. Luego, el semiplano izquierdo se mapea sobre el disco unitario, con un número de radios igual a  n . Puede ser incluso más ventajoso mapear en cambio las diagonales en estos cuadrados, lo que da un sistema de coordenadas discreto en el disco unitario formado por espirales, véase la figura de la derecha. ${\displaystyle \pi }$

Operador de Dirichlet a Neumann

El último sistema de coordenadas es, por ejemplo, adecuado para tratar problemas de Dirichlet y Neumann. Si el sistema de coordenadas discreto se interpreta como un grafo no dirigido en el disco unitario, puede considerarse como un modelo para una red eléctrica. A cada segmento de línea en el grafo se asocia una conductancia dada por una función . La red eléctrica servirá entonces como un modelo discreto para el problema de Dirichlet en el disco unitario, donde la ecuación de Laplace toma la forma de la ley de Kirchhoff. En los nodos en el límite del círculo, se define un potencial eléctrico (datos de Dirichlet), que induce una corriente eléctrica (datos de Neumann) a través de los nodos del límite. El operador lineal de los datos de Dirichlet a los datos de Neumann se llama operador de Dirichlet a Neumann y depende de la topología y la conductancia de la red. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Lambda _{\gamma }}$

En el caso del disco continuo, se deduce que si la conductancia es homogénea, digamos en todas partes, entonces el operador de Dirichlet a Neumann satisface la siguiente ecuación ${\displaystyle \gamma =1}$

${\displaystyle \Lambda _{\gamma }^{2}+{\frac {\partial ^{2}\ }{\partial \theta ^{2}}}=0}$

Análisis de imágenes

Ya a finales de los años 70 se empezaron a utilizar las coordenadas espirales discretas en el análisis de imágenes ( registro de imágenes ). Representar una imagen en este sistema de coordenadas en lugar de en coordenadas cartesianas proporciona ventajas computacionales a la hora de rotar o ampliar una imagen. Además, los fotorreceptores de la retina del ojo humano están distribuidos de una forma que tiene grandes similitudes con el sistema de coordenadas espirales. ^[1] También se puede encontrar en el fractal de Mandelbrot (véase la imagen de la derecha).

Las coordenadas log-polares también se pueden utilizar para construir métodos rápidos para la transformada de Radon y su inversa. ^[2]

Véase también

• Coordenadas polares
• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas cilíndricas
• Coordenadas esféricas
• Mapeo log-polar en retinotopía

Referencias

1. Weiman, Chaikin, Cuadrículas espirales logarítmicas para procesamiento y visualización de imágenes , Gráficos por computadora y procesamiento de imágenes 11, 197–226 (1979).
2. Andersson, Fredrik, Inversión rápida de la transformada del radón utilizando coordenadas log-polares y retroproyecciones parciales , SIAM J. Appl. Math. 65, 818–837 (2005).

Enlaces externos

• Sitio web sobre cálculo no newtoniano