Medida de riesgo coherente

En los campos de la ciencia actuarial y la economía financiera existen diversas formas de definir el riesgo; para aclarar el concepto, los teóricos han descrito una serie de propiedades que una medida de riesgo puede o no tener. Una medida de riesgo coherente es una función que satisface las propiedades de monotonía , subaditividad , homogeneidad e invariancia traslacional .

Propiedades

Consideremos un resultado aleatorio como un elemento de un espacio lineal de funciones mensurables, definido en un espacio de probabilidad apropiado. Se dice que una función → es una medida de riesgo coherente si satisface las siguientes propiedades: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \varrho :{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Normalizado

${\displaystyle \varrho (0)=0}$

Es decir, el riesgo al no tener activos es cero.

Monotonía

${\displaystyle \mathrm {If} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}\;\mathrm {and} \;Z_{1}\leq Z_{2}\;\mathrm {a.s.} ,\;\mathrm {then} \;\varrho (Z_{1})\geq \varrho (Z_{2})}$

Es decir, si la cartera siempre tiene mejores valores que la cartera en casi todos los escenarios, entonces el riesgo de debería ser menor que el riesgo de . ^[2] Por ejemplo, si es una opción de compra (o no) en el dinero sobre una acción, y también es una opción de compra en el dinero con un precio de ejercicio más bajo. En la gestión de riesgos financieros, la monotonía implica que una cartera con mayores rendimientos futuros tiene menos riesgo. ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$

Subaditividad

${\displaystyle \mathrm {If} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\varrho (Z_{1}+Z_{2})\leq \varrho (Z_{1})+\varrho (Z_{2})}$

De hecho, el riesgo de dos carteras juntas no puede ser peor que el de sumar los dos riesgos por separado: este es el principio de diversificación . En la gestión de riesgos financieros, la subaditividad implica que la diversificación es beneficiosa. El principio de subaditividad a veces también se considera problemático. ^{[3] [4]}

Homogeneidad positiva

${\displaystyle \mathrm {If} \;\alpha \geq 0\;\mathrm {and} \;Z\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\varrho (\alpha Z)=\alpha \varrho (Z)}$

En términos generales, si duplica su cartera, duplica su riesgo. En la gestión de riesgos financieros, la homogeneidad positiva implica que el riesgo de una posición es proporcional a su tamaño.

Invariancia de la traducción

Si es una cartera determinista con rentabilidad garantizada y entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Z\in {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \varrho (Z+A)=\varrho (Z)-a}$

La cartera consiste simplemente en añadir efectivo a su cartera . En particular, si entonces ... En la gestión de riesgos financieros , la invariancia de la traducción implica que la adición de una cierta cantidad de capital reduce el riesgo en la misma cantidad. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle a=\varrho (Z)}$ ${\displaystyle \varrho (Z+A)=0}$

Medidas de riesgo convexas

Posteriormente, se ha relajado el concepto de coherencia. De hecho, los conceptos de subaditividad y homogeneidad positiva pueden sustituirse por el concepto de convexidad : ^[5]

Convexidad

${\displaystyle {\text{If }}Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}{\text{ and }}\lambda \in [0,1]{\text{ then }}\varrho (\lambda Z_{1}+(1-\lambda )Z_{2})\leq \lambda \varrho (Z_{1})+(1-\lambda )\varrho (Z_{2})}$

Ejemplos de medidas de riesgo

Valor en riesgo

Es bien sabido que el valor en riesgo no es una medida coherente del riesgo, ya que no respeta la propiedad de subaditividad. Una consecuencia inmediata es que el valor en riesgo podría desalentar la diversificación. ^[1] El valor en riesgo es, sin embargo, coherente, bajo el supuesto de pérdidas distribuidas elípticamente (por ejemplo, distribuidas normalmente ) cuando el valor de la cartera es una función lineal de los precios de los activos. Sin embargo, en este caso el valor en riesgo se vuelve equivalente a un enfoque de media-varianza donde el riesgo de una cartera se mide por la varianza del rendimiento de la cartera.

La función de transformación de Wang (función de distorsión) para el valor en riesgo es . La no concavidad de demuestra la falta de coherencia de esta medida de riesgo. ${\displaystyle g(x)=\mathbf {1} _{x\geq 1-\alpha }}$ ${\displaystyle g}$

Ilustración

Como ejemplo simple para demostrar la falta de coherencia del valor en riesgo, consideremos observar el VaR de una cartera con un 95 % de confianza durante el próximo año de dos bonos cupón cero con vencimiento en un año denominados en nuestra moneda numeraria y susceptibles de impago.

Supongamos lo siguiente:

• El rendimiento actual de ambos bonos es del 0%.
• Los dos bonos son de emisores diferentes.
• Cada bono tiene una probabilidad del 4% de incumplir durante el próximo año.
• El evento de incumplimiento de cualquiera de los bonos es independiente del otro.
• En caso de impago, los bonos tienen una tasa de recuperación del 30%.

En estas condiciones, el VaR del 95% para la tenencia de cualquiera de los bonos es 0, ya que la probabilidad de impago es inferior al 5%. Sin embargo, si tuviéramos una cartera compuesta por el 50% de cada bono por valor, entonces el VaR del 95% sería del 35% (= 0,5*0,7 + 0,5*0), ya que la probabilidad de que al menos uno de los bonos incumpla es del 7,84% (= 1 - 0,96*0,96), lo que supera el 5%. Esto viola la propiedad de subaditividad, lo que demuestra que el VaR no es una medida de riesgo coherente.

Valor medio en riesgo

El valor en riesgo promedio (a veces llamado déficit esperado o valor en riesgo condicional o ) es una medida de riesgo coherente, aunque se deriva del valor en riesgo, que no lo es. El dominio se puede extender para corazones de Orlitz más generales a partir de los espacios Lp más típicos . ^[6] ${\displaystyle AVaR}$

El valor entrópico en riesgo

El valor entrópico en riesgo es una medida de riesgo coherente. ^[7]

Valor de cola en riesgo

El valor de cola en riesgo (o expectativa condicional de cola) es una medida de riesgo coherente solo cuando la distribución subyacente es continua .

La función de transformación de Wang (función de distorsión) para el valor de cola en riesgo es . La concavidad de demuestra la coherencia de esta medida de riesgo en el caso de una distribución continua. ${\displaystyle g(x)=\min({\frac {x}{\alpha }},1)}$ ${\displaystyle g}$

Medida de riesgo de riesgo proporcional (PH)

La medida de riesgo PH (o medida de riesgo de riesgo proporcional) transforma las tasas de riesgo utilizando un coeficiente . ${\displaystyle \scriptstyle \left(\lambda (t)={\frac {f(t)}{{\bar {F}}(t)}}\right)}$ ${\displaystyle \xi }$

La función de transformación de Wang (función de distorsión) para la medida de riesgo de PH es . La concavidad de si demuestra la coherencia de esta medida de riesgo. ${\displaystyle g_{\alpha }(x)=x^{\xi }}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \scriptstyle \xi <{\frac {1}{2}}}$

Ejemplo de función de transformación de Wang o función de distorsión

Medidas de riesgo g-entrópico

Las medidas de riesgo g-entrópicas son una clase de medidas de riesgo coherentes basadas en la teoría de la información que involucran algunos casos importantes como CVaR y EVaR. ^[7]

La medida de riesgo de Wang

La medida de riesgo de Wang se define mediante la siguiente función de transformación de Wang (función de distorsión) . La coherencia de esta medida de riesgo es una consecuencia de la concavidad de . ${\displaystyle g_{\alpha }(x)=\Phi \left[\Phi ^{-1}(x)-\Phi ^{-1}(\alpha )\right]}$ ${\displaystyle g}$

Medida de riesgo entrópico

La medida de riesgo entrópico es una medida de riesgo convexa que no es coherente. Está relacionada con la utilidad exponencial .

Precio de supercobertura

El precio de súper cobertura es una medida de riesgo coherente.

Conjunto de valores

En una situación en la que las carteras tienen valores fijos de modo que el riesgo se pueda medir en función de los activos, entonces un conjunto de carteras es la forma adecuada de representar el riesgo. Las medidas de riesgo con valores fijos son útiles para los mercados con costos de transacción . ^[8] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle n\leq d}$

Propiedades

Una medida de riesgo coherente con valores establecidos es una función , donde y donde es un cono de solvencia constante y es el conjunto de carteras de activos de referencia. debe tener las siguientes propiedades: ^[9] ${\displaystyle R:L_{d}^{p}\rightarrow \mathbb {F} _{M}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{M}=\{D\subseteq M:D=cl(D+K_{M})\}}$ ${\displaystyle K_{M}=K\cap M}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle R}$

Normalizado

${\displaystyle K_{M}\subseteq R(0)\;\mathrm {and} \;R(0)\cap -\mathrm {int} K_{M}=\emptyset }$

Traductivo en M

${\displaystyle \forall X\in L_{d}^{p},\forall u\in M:R(X+u1)=R(X)-u}$

Monótono

${\displaystyle \forall X_{2}-X_{1}\in L_{d}^{p}(K)\Rightarrow R(X_{2})\supseteq R(X_{1})}$

Sublineal

Marco general de la transformada de Wang

Transformada de Wang de la función de distribución acumulativa

Una transformada de Wang de la función de distribución acumulativa es una función creciente donde y . ^[10] Esta función se denomina función de distorsión o función de transformada de Wang. ${\displaystyle g\colon [0,1]\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle g(0)=0}$ ${\displaystyle g(1)=1}$

La función de distorsión dual es . ^{[11] [12]} Dado un espacio de probabilidad , entonces para cualquier variable aleatoria y cualquier función de distorsión podemos definir una nueva medida de probabilidad tal que para cualquier se deduzca que ^[11] ${\displaystyle {\tilde {g}}(x)=1-g(1-x)}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (A)=g(\mathbb {P} (X\in A)).}$

Principio de prima actuarial

Para cualquier función de transformación de Wang cóncava creciente, podríamos definir un principio de prima correspondiente: ^[10] ${\displaystyle \varrho (X)=\int _{0}^{+\infty }g\left({\bar {F}}_{X}(x)\right)dx}$

Medida de riesgo coherente

Una medida de riesgo coherente podría definirse mediante una transformada de Wang de la función de distribución acumulativa si y solo si es cóncava. ^[10] ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

Medida de riesgo convexa con valor establecido

Si en lugar de la propiedad sublineal, R es convexo, entonces R es una medida de riesgo convexa de valor conjunto.

Doble representación

Una medida de riesgo convexo semicontinuo inferior se puede representar como ${\displaystyle \varrho }$

${\displaystyle \varrho (X)=\sup _{Q\in {\mathcal {M}}(P)}\{E^{Q}[-X]-\alpha (Q)\}}$

tal que es una función de penalización y es el conjunto de medidas de probabilidad absolutamente continuas con respecto a P (la medida de probabilidad del "mundo real" ), es decir . La caracterización dual está ligada a los espacios , los corazones de Orlitz y sus espacios duales. ^[6] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P)=\{Q\ll P\}}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Una medida de riesgo semicontinua más baja es coherente si y solo si puede representarse como

${\displaystyle \varrho (X)=\sup _{Q\in {\mathcal {Q}}}E^{Q}[-X]}$

de tal manera que . ^[13] ${\displaystyle {\mathcal {Q}}\subseteq {\mathcal {M}}(P)}$

Véase también

• Métrica de riesgo : el concepto abstracto de que una medida de riesgo cuantifica
• RiskMetrics : un modelo para la gestión de riesgos
• Medida de riesgo espectral : un subconjunto de medidas de riesgo coherentes
• Medida del riesgo de distorsión
• Valor condicional en riesgo
• El valor entrópico en riesgo
• Riesgo financiero

Referencias

1. Artzner, P.; Delbaen, F.; Eber, JM; Heath, D. (1999). "Medidas coherentes de riesgo". Finanzas matemáticas . 9 (3): 203. doi :10.1111/1467-9965.00068. S2CID  6770585.
2. Wilmott, P. (2006). "Finanzas cuantitativas". 1 (2.ª ed.). Wiley: 342. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
3. Dhaene, J.; Laeven, RJ; Vanduffel, S.; Darkiewicz, G.; Goovaerts, MJ (2008). "¿Puede una medida de riesgo coherente ser demasiado subaditiva?". Journal of Risk and Insurance . 75 (2): 365–386. doi :10.1111/j.1539-6975.2008.00264.x. S2CID  10055021.
4. Rau-Bredow, H. (2019). "Más grande no siempre es más seguro: un análisis crítico del supuesto de subaditividad para medidas de riesgo coherentes". Riesgos . 7 (3): 91. doi : 10.3390/risks7030091 . hdl : 10419/257929 .
5. Föllmer, H.; Schied, A. (2002). "Medidas convexas de riesgo y restricciones comerciales". Finanzas y estocástica . 6 (4): 429–447. doi :10.1007/s007800200072. hdl : 10419/62741 . S2CID  1729029.
6. Patrick Cheridito; Tianhui Li (2008). "Caracterización dual de las propiedades de las medidas de riesgo en corazones de Orlicz". Matemáticas y economía financiera . 2 : 2–29. doi :10.1007/s11579-008-0013-7. S2CID  121880657.
7. Ahmadi-Javid, Amir (2012). "Valor en riesgo entrópico: una nueva medida de riesgo coherente". Revista de teoría y aplicaciones de optimización . 155 (3): 1105–1123. doi :10.1007/s10957-011-9968-2. S2CID  46150553.
8. Jouini, Elyes; Meddeb, Moncef; Touzi, Nizar (2004). "Medidas de riesgo coherentes valoradas en vectores". Finanzas y estocástica . 8 (4): 531–552. CiteSeerX 10.1.1.721.6338 . doi :10.1007/s00780-004-0127-6. 
9. Hamel, AH; Heyde, F. (2010). "Dualidad para medidas de riesgo con valores establecidos". Revista SIAM de Matemáticas Financieras . 1 (1): 66–95. CiteSeerX 10.1.1.514.8477 . doi :10.1137/080743494. 
10. Wang, Shaun (1996). "Cálculo de la prima mediante la transformación de la densidad de la prima de capa". Boletín ASTIN . 26 (1): 71–92. doi : 10.2143/ast.26.1.563234 .
11. Balbás, A.; Garrido, J.; Mayoral, S. (2008). "Propiedades de las medidas de riesgo de distorsión". Metodología y computación en probabilidad aplicada . 11 (3): 385. doi :10.1007/s11009-008-9089-z. hdl : 10016/14071 . S2CID  53327887.
12. Julia L. Wirch; Mary R. Hardy. "Medidas de riesgo de distorsión: coherencia y dominancia estocástica" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 5 de julio de 2016. Consultado el 10 de marzo de 2012 .
13. Föllmer, Hans; Schied, Alejandro (2004). Finanzas estocásticas: una introducción en tiempo discreto (2 ed.). Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-018346-7.