Conversión de coordenadas geográficas

Descripción general de las fórmulas de conversión de GPS

En geodesia , la conversión entre diferentes sistemas de coordenadas geográficas se hace necesaria debido a los diferentes sistemas de coordenadas geográficas que se utilizan en todo el mundo y a lo largo del tiempo. La conversión de coordenadas se compone de varios tipos diferentes de conversión: cambio de formato de coordenadas geográficas, conversión de sistemas de coordenadas o transformación a diferentes datos geodésicos . La conversión de coordenadas geográficas tiene aplicaciones en cartografía , topografía , navegación y sistemas de información geográfica .

En geodesia, la conversión de coordenadas geográficas se define como la traducción entre diferentes formatos de coordenadas o proyecciones de mapas, todos ellos referenciados al mismo datum geodésico. ^[1] Una transformación de coordenadas geográficas es una traducción entre diferentes datums geodésicos. En este artículo se considerarán tanto la conversión como la transformación de coordenadas geográficas.

Este artículo asume que los lectores ya están familiarizados con el contenido de los artículos sistema de coordenadas geográficas y datum geodésico .

Cambio de unidades y formato

De manera informal, especificar una ubicación geográfica generalmente significa indicar la latitud y la longitud de la ubicación . Los valores numéricos de latitud y longitud pueden presentarse en varias unidades o formatos diferentes: ^[2]

• grado sexagesimal : grados , minutos y segundos  : 40° 26′ 46″ N 79° 58′ 56″ O
• grados y minutos decimales: 40° 26.767′ N 79° 58.933′ O
• grados decimales: +40,446 -79,982

Hay 60 minutos en un grado y 60 segundos en un minuto. Por lo tanto, para convertir de un formato de grados minutos segundos a un formato de grados decimales, se puede utilizar la fórmula

${\displaystyle {\rm {{decimal\ degrees}={\rm {{degrees}+{\frac {\rm {minutes}}{60}}+{\frac {\rm {seconds}}{3600}}}}}}}$.

Para volver a convertir del formato de grados decimales al formato de grados, minutos y segundos,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {absDegrees}}&=|{\rm {{decimal\ degrees}|}}\\{\rm {floorAbsDegrees}}&=\lfloor {\rm {{absDegrees}\rfloor }}\\{\rm {degrees}}&=\operatorname {sgn}({\rm {{decimal\ degrees})\times {\rm {floorAbsDegrees}}}}\\{\rm {minutes}}&=\lfloor 60\times ({\rm {{absDegrees}-{\rm {{floorAbsDegrees})\rfloor }}}}\\{\rm {seconds}}&=3600\times ({\rm {{absDegrees}-{\rm {{floorAbsDegrees})-60\times {\rm {minutes}}}}}}\\\end{aligned}}}$

donde y son solo variables temporales para manejar adecuadamente los valores positivos y negativos. ${\displaystyle {\rm {absDegrees}}}$ ${\displaystyle {\rm {floorAbsDegrees}}}$

Conversión de sistemas de coordenadas

Una conversión de sistema de coordenadas es una conversión de un sistema de coordenadas a otro, en el que ambos sistemas de coordenadas se basan en el mismo datum geodésico. Las tareas de conversión más comunes incluyen la conversión entre coordenadas geodésicas y coordenadas centradas en la Tierra y fijas en la Tierra ( ECEF ) y la conversión de un tipo de proyección cartográfica a otro.

De coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF

La longitud PQ, llamada radio vertical primo , es . La longitud IQ es igual a . . ${\displaystyle N(\phi )}$ ${\displaystyle \,e^{2}N(\phi )}$ ${\displaystyle R=(X,\,Y,\,Z)}$

Las coordenadas geodésicas (latitud , longitud , altura ) se pueden convertir en coordenadas ECEF utilizando la siguiente ecuación: ^[3] ${\displaystyle \ \phi }$ ${\displaystyle \ \lambda }$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\cos {\lambda }\\Y&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\sin {\lambda }\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\\&=\left((1-e^{2})N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\\&=\left((1-f)^{2}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle N(\phi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {a}{\sqrt {1-{\frac {e^{2}}{1+\cot ^{2}\phi }}}}},}$

y y son el radio ecuatorial ( semieje mayor ) y el radio polar ( semieje menor ), respectivamente. es el cuadrado de la primera excentricidad numérica del elipsoide. es el aplanamiento del elipsoide. El radio de curvatura vertical principal es la distancia desde la superficie hasta el eje Z a lo largo de la normal del elipsoide. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$ ${\displaystyle f=1-{\frac {b}{a}}}$ ${\displaystyle \,N(\phi )}$

Propiedades

La siguiente condición se cumple para la longitud de la misma manera que en el sistema de coordenadas geocéntricas:

${\displaystyle {\frac {X}{\cos \lambda }}-{\frac {Y}{\sin \lambda }}=0.}$

Y lo siguiente se aplica a la latitud:

${\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}-{\frac {Z}{\sin \phi }}-e^{2}N(\phi )=0,}$

donde , ya que el parámetro se elimina restando ${\displaystyle p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}=N+h}$

y

${\displaystyle {\frac {Z}{\sin \phi }}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}N+h.}$

Además, al dividir las ecuaciones anteriores, se obtiene lo siguiente:

${\displaystyle {\frac {Z}{p}}\cot \phi =1-{\frac {e^{2}N}{N+h}}.}$

Ortogonalidad

La ortogonalidad de las coordenadas se confirma mediante la diferenciación:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}dX\\dY\\dZ\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}},\\[3pt]{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\left(N(\phi )+h\right)\cos \phi &0&0\\0&M(\phi )+h&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\lambda \\d\phi \\dh\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle M(\phi )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}=N(\phi ){\frac {1-e^{2}}{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}$

(ver también " Arco meridiano sobre el elipsoide ").

Del ECEF a las coordenadas geodésicas

Conversión para la longitud

La conversión de coordenadas ECEF a longitud es:

${\displaystyle \lambda =\operatorname {atan2} (Y,X)}$.

donde atan2 es la función arcotangente que resuelve cuadrantes. La longitud geocéntrica y la longitud geodésica tienen el mismo valor; esto es cierto para la Tierra y otros planetas de forma similar porque tienen una gran cantidad de simetría rotacional alrededor de su eje de giro (ver longitud elipsoidal triaxial para una generalización).

Conversión iterativa simple para latitud y altura

La conversión de latitud y altura implica una relación circular que involucra a N , que es una función de la latitud:

${\displaystyle {\frac {Z}{p}}\cot \phi =1-{\frac {e^{2}N}{N+h}}}$,

${\displaystyle h={\frac {p}{\cos \phi }}-N}$.

Se puede resolver iterativamente, por ejemplo, ^{[4] [5] comenzando con una primera estimación} h ≈0 y luego actualizando N . A continuación se muestran métodos más elaborados. Sin embargo, el procedimiento es sensible a pequeñas precisiones debido a que y están separados por quizás 10 ⁶ . ^{[6] [7]} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h}$

Método de Newton-Raphson

La siguiente ecuación de latitud geodésica irracional de Bowring, ^[8] derivada simplemente de las propiedades anteriores, se puede resolver de manera eficiente mediante el método de iteración de Newton-Raphson : ^{[9] [10]}

${\displaystyle \kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\sqrt {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa ^{2}}}}=0,}$

donde y como antes. La altura se calcula como: ${\displaystyle \kappa ={\frac {p}{Z}}\tan \phi }$ ${\displaystyle p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=e^{-2}\left(\kappa ^{-1}-{\kappa _{0}}^{-1}\right){\sqrt {p^{2}+Z^{2}\kappa ^{2}}},\\\kappa _{0}&\triangleq \left(1-e^{2}\right)^{-1}.\end{aligned}}}$

La iteración se puede transformar en el siguiente cálculo:

${\displaystyle \kappa _{i+1}={\frac {c_{i}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}}=1+{\frac {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}},}$

dónde ${\displaystyle c_{i}={\frac {\left(p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{ae^{2}}}.}$

La constante es un buen valor inicial para la iteración cuando . Bowring demostró que la iteración única produce una solución suficientemente precisa. Utilizó funciones trigonométricas adicionales en su formulación original. ${\displaystyle \,\kappa _{0}}$ ${\displaystyle h\approx 0}$

La solución de Ferrari

La ecuación cuártica de , derivada de lo anterior, se puede resolver mediante la solución de Ferrari ^{[11] [12]} para obtener: ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=\left(1-e^{2}\right){\frac {z^{2}}{a^{2}}},\\[4pt]\rho &={\frac {1}{6}}\left({\frac {p^{2}}{a^{2}}}+\zeta -e^{4}\right),\\[4pt]s&={\frac {e^{4}\zeta p^{2}}{4\rho ^{3}a^{2}}},\\[4pt]t&={\sqrt[{3}]{1+s+{\sqrt {s(s+2)}}}},\\[4pt]u&=\rho \left(t+1+{\frac {1}{t}}\right),\\[4pt]v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}\zeta }},\\[4pt]w&=e^{2}{\frac {u+v-\zeta }{2v}},\\[4pt]\kappa &=1+e^{2}{\frac {{\sqrt {u+v+w^{2}}}+w}{u+v}}.\end{aligned}}}$

La aplicación de la solución de Ferrari

Existen varias técnicas y algoritmos, pero el más preciso, según Zhu ^[13], es el siguiente procedimiento establecido por Heikkinen ^[14] , citado por Zhu. Esto coincide con lo anterior. Se supone que se conocen los parámetros geodésicos. ${\displaystyle \{a,\,b,\,e\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=6378137.0{\text{ m. Earth Equatorial Radius}}\\[3pt]b&=6356752.3142{\text{ m. Earth Polar Radius}}\\[3pt]e^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\\[3pt]e'^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\\[3pt]p&={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\\[3pt]F&=54b^{2}Z^{2}\\[3pt]G&=p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}-e^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\\[3pt]c&={\frac {e^{4}Fp^{2}}{G^{3}}}\\[3pt]s&={\sqrt[{3}]{1+c+{\sqrt {c^{2}+2c}}}}\\[3pt]k&=s+1+{\frac {1}{s}}\\[3pt]P&={\frac {F}{3k^{2}G^{2}}}\\[3pt]Q&={\sqrt {1+2e^{4}P}}\\[3pt]r_{0}&={\frac {-Pe^{2}p}{1+Q}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}\left(1+{\frac {1}{Q}}\right)-{\frac {P\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}{Q(1+Q)}}-{\frac {1}{2}}Pp^{2}}}\\[3pt]U&={\sqrt {\left(p-e^{2}r_{0}\right)^{2}+Z^{2}}}\\[3pt]V&={\sqrt {\left(p-e^{2}r_{0}\right)^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}}\\[3pt]z_{0}&={\frac {b^{2}Z}{aV}}\\[3pt]h&=U\left(1-{\frac {b^{2}}{aV}}\right)\\[3pt]\phi &=\arctan \left[{\frac {Z+e'^{2}z_{0}}{p}}\right]\\[3pt]\lambda &=\operatorname {arctan2} [Y,\,X]\end{aligned}}}$

Nota: arctan2 [Y, X] es la función tangente inversa de cuatro cuadrantes.

Serie de potencias

Para e ² pequeño la serie de potencias

${\displaystyle \kappa =\sum _{i\geq 0}\alpha _{i}e^{2i}}$

comienza con

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{0}&=1;\\\alpha _{1}&={\frac {a}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}};\\\alpha _{2}&={\frac {aZ^{2}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}+2a^{2}p^{2}}{2\left(Z^{2}+p^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Coordenadas geodésicas desde/hacia ENU

Para convertir coordenadas geodésicas a coordenadas del plano tangente local ( ENU ) es necesario un proceso de dos etapas:

1. Convertir coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF
2. Convertir coordenadas ECEF a coordenadas ENU locales

Del ECEF al ENU

Para transformar las coordenadas ECEF a las coordenadas locales, necesitamos un punto de referencia local. Normalmente, este podría ser la ubicación de un radar. Si un radar está ubicado en y una aeronave en , entonces el vector que apunta desde el radar a la aeronave en el marco ENU es ${\displaystyle \left\{X_{r},\,Y_{r},\,Z_{r}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{X_{p},\,Y_{p},\,Z_{p}\right\}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&\cos \lambda _{r}&0\\-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\\\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\Z_{p}-Z_{r}\end{bmatrix}}}$

Nota: es la latitud geodésica ; la latitud geocéntrica no es apropiada para representar la dirección vertical del plano tangente local y debe convertirse si es necesario. ${\displaystyle \ \phi }$

De la ENU a la ECEF

Esto es solo la inversión de la transformación de ECEF a ENU.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{p}\\Y_{p}\\Z_{p}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}\\\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}\\0&\cos \phi _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}}$

Conversión entre proyecciones de mapas

La conversión de coordenadas y posiciones de mapas entre diferentes proyecciones cartográficas con referencia al mismo dato se puede lograr ya sea a través de fórmulas de traducción directa de una proyección a otra, o convirtiendo primero de una proyección a un sistema de coordenadas intermedio, como ECEF, y luego convirtiendo de ECEF a proyección . Las fórmulas involucradas pueden ser complejas y en algunos casos, como en la conversión de ECEF a geodésica mencionada anteriormente, la conversión no tiene una solución de forma cerrada y se deben utilizar métodos aproximados. Referencias como el Manual Técnico 8358.1 de la DMA ^[15] y el documento Map Projections: A Working Manual del USGS ^[16] contienen fórmulas para la conversión de proyecciones cartográficas. Es común utilizar programas informáticos para realizar tareas de conversión de coordenadas, como con el programa GEOTRANS respaldado por el DoD y la NGA. ^[17] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Transformaciones de datos

Los diferentes caminos posibles para transformar coordenadas geográficas de datum a datum ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Las transformaciones entre datos se pueden realizar de varias maneras. Hay transformaciones que convierten directamente las coordenadas geodésicas de un datum a otro. Hay transformaciones más indirectas que convierten las coordenadas geodésicas en coordenadas ECEF, transforman las coordenadas ECEF de un datum a otro y luego transforman las coordenadas ECEF del nuevo datum nuevamente en coordenadas geodésicas. También hay transformaciones basadas en cuadrículas que transforman directamente de un par (datum, proyección de mapa) a otro par (datum, proyección de mapa).

Transformación de Helmert

El uso de la transformada de Helmert en la transformación de coordenadas geodésicas de datum a coordenadas geodésicas de datum ocurre en el contexto de un proceso de tres pasos: ^[18] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

1. Convertir de coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF para el datum ${\displaystyle A}$
2. Aplique la transformada de Helmert, con los parámetros de transformación adecuados, para transformar las coordenadas de referencia ECEF a las coordenadas de referencia ECEF. ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
3. Convertir de coordenadas ECEF a coordenadas geodésicas para el datum ${\displaystyle B}$

En términos de vectores ECEF XYZ, la transformada de Helmert tiene la forma (convención de transformación de vectores de posición y simplificación de ángulos de rotación muy pequeños) ^[18]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+\left(1+s\times 10^{-6}\right){\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}.}$

La transformada de Helmert es una transformación de siete parámetros con tres parámetros de traslación (desplazamiento) , tres parámetros de rotación y un parámetro de escala (dilatación) . La transformada de Helmert es un método aproximado que es preciso cuando los parámetros de la transformada son pequeños en relación con las magnitudes de los vectores ECEF. En estas condiciones, la transformada se considera reversible. ^[19] ${\displaystyle c_{x},\,c_{y},\,c_{z}}$ ${\displaystyle r_{x},\,r_{y},\,r_{z}}$ ${\displaystyle s}$

Se puede utilizar una transformada de Helmert de catorce parámetros, con dependencia temporal lineal para cada parámetro, ^{[19] : 131-133,} para capturar la evolución temporal de las coordenadas geográficas debido a procesos geomorfológicos , como la deriva continental ^[20] y los terremotos. ^[21] Esto se ha incorporado en software, como la herramienta de Posicionamiento Dependiente del Tiempo Horizontal (HTDP) del US NGS. ^[22]

Transformación Molodensky-Badekas

Para eliminar el acoplamiento entre las rotaciones y las traslaciones de la transformada de Helmert, se pueden introducir tres parámetros adicionales para dar un nuevo centro de rotación XYZ más cercano a las coordenadas que se están transformando. Este modelo de diez parámetros se denomina transformación de Molodensky-Badekas y no debe confundirse con la transformada de Molodensky más básica. ^{[19] : 133-134}

Al igual que la transformada de Helmert, el uso de la transformada de Molodensky-Badekas es un proceso de tres pasos:

1. Convertir de coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF para el datum ${\displaystyle A}$
2. Aplique la transformada de Molodensky-Badekas, con los parámetros de transformación adecuados, para transformar las coordenadas de referencia ECEF a las coordenadas de referencia ECEF. ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
3. Convertir de coordenadas ECEF a coordenadas geodésicas para el datum ${\displaystyle B}$

La transformación tiene la forma ^[23]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Delta X_{A}\\\Delta Y_{A}\\\Delta Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}+\Delta S{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}.}$

donde es el origen de las transformaciones de rotación y escala y es el factor de escala. ${\displaystyle \left(X_{A}^{0},\,Y_{A}^{0},\,Z_{A}^{0}\right)}$ ${\displaystyle \Delta S}$

La transformación de Molodensky-Badekas se utiliza para transformar datos geodésicos locales en datos geodésicos globales, como WGS 84. A diferencia de la transformación de Helmert, la transformación de Molodensky-Badekas no es reversible debido a que el origen rotacional está asociado con el dato original. ^{[19] : 134}

Transformación de Molodensky

La transformación de Molodensky convierte directamente entre sistemas de coordenadas geodésicas de diferentes datums sin el paso intermedio de conversión a coordenadas geocéntricas (ECEF). ^[24] Requiere los tres desplazamientos entre los centros de los datums y las diferencias entre los semiejes mayores del elipsoide de referencia y los parámetros de aplanamiento.

La transformada de Molodensky es utilizada por la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial (NGA) en su estándar TR8350.2 y el programa GEOTRANS compatible con la NGA. ^[25] El método de Molodensky era popular antes de la llegada de las computadoras modernas y el método es parte de muchos programas geodésicos.

Método basado en cuadrícula

Magnitud del desplazamiento de posición entre los datos NAD27 y NAD83 en función de la ubicación.

Las transformaciones basadas en cuadrículas convierten directamente las coordenadas de un mapa de un par (mapa-proyección, datum geodésico) a coordenadas de otro par (mapa-proyección, datum geodésico). Un ejemplo es el método NADCON para transformar del Datum de América del Norte (NAD) 1927 al datum NAD 1983. ^[26] La Red de Referencia de Alta Precisión (HARN), una versión de alta precisión de las transformaciones NADCON, tiene una precisión de aproximadamente 5 centímetros. La versión 2 de la Transformación Nacional ( NTv2 ) es una versión canadiense de NADCON para transformar entre NAD 1927 y NAD 1983. Las HARN también se conocen como NAD 83/91 y Redes de Cuadrícula de Alta Precisión (HPGN). ^[27] Posteriormente, Australia y Nueva Zelanda adoptaron el formato NTv2 para crear métodos basados ​​en cuadrículas para transformar entre sus propios datums locales.

Al igual que la transformación de ecuaciones de regresión múltiple, los métodos basados ​​en cuadrículas utilizan un método de interpolación de orden bajo para convertir las coordenadas del mapa, pero en dos dimensiones en lugar de tres. La NOAA proporciona una herramienta de software (como parte del kit de herramientas geodésicas NGS) para realizar transformaciones NADCON. ^{[28] [29]}

Ecuaciones de regresión múltiple

Las transformaciones de datos mediante el uso de métodos empíricos de regresión múltiple se crearon para lograr resultados de mayor precisión en pequeñas regiones geográficas que las transformaciones estándar de Molodensky. Las transformaciones MRE se utilizan para transformar datos locales en regiones del tamaño de un continente o más pequeñas en datos globales, como WGS 84. ^[30] La norma NIMA TM 8350.2, Apéndice D, ^[31] enumera las transformaciones MRE de varios datos locales a WGS 84, con precisiones de aproximadamente 2 metros. ^[32]

Las MRE son una transformación directa de coordenadas geodésicas sin paso intermedio de ECEF. Las coordenadas geodésicas en el nuevo datum se modelan como polinomios de hasta el noveno grado en las coordenadas geodésicas del datum original . Por ejemplo, el cambio en podría parametrizarse como (mostrando solo hasta términos cuadráticos) ^{[30] : 9} ${\displaystyle \phi _{B},\,\lambda _{B},\,h_{B}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi _{A},\,\lambda _{A},\,h_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi _{B}}$

${\displaystyle \Delta \phi =a_{0}+a_{1}U+a_{2}V+a_{3}U^{2}+a_{4}UV+a_{5}V^{2}+\cdots }$

dónde

${\displaystyle a_{i},}$parámetros ajustados por regresión múltiple

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=K(\phi _{A}-\phi _{m})\\V&=K(\lambda _{A}-\lambda _{m})\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle K,}$factor de escala

${\displaystyle \phi _{m},\,\lambda _{m},}$origen del dato, ${\displaystyle A.}$

con ecuaciones similares para y . Dado un número suficiente de pares de coordenadas para puntos de referencia en ambos datos para obtener buenas estadísticas, se utilizan métodos de regresión múltiple para ajustar los parámetros de estos polinomios. Los polinomios, junto con los coeficientes ajustados, forman las ecuaciones de regresión múltiple. ${\displaystyle \Delta \lambda }$ ${\displaystyle \Delta h}$ ${\displaystyle (A,\,B)}$

Véase también

• Sistema de coordenadas Gauss-Krüger
• Lista de proyecciones cartográficas
• Sistema de referencia espacial
• Sistema de coordenadas topocéntricas
• Sistema de coordenadas estereográficas polares universales
• Sistema de coordenadas transversal universal de Mercator
• Distancia geográfica

Referencias

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3. B. Hofmann-Wellenhof; H. Lichtenegger; J. Collins (1997). GPS: teoría y práctica . Sección 10.2.1. pág. 282. ISBN 3-211-82839-7.
4. Una guía de los sistemas de coordenadas de Gran Bretaña. Está disponible como documento PDF en "ordnancesurvey.co.uk". Archivado desde el original el 11 de febrero de 2012. Consultado el 11 de enero de 2012 .Apéndices B1, B2
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