fracción continua periódica

En matemáticas , una fracción continua periódica infinita es una fracción continua que se puede colocar en la forma

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\quad \ddots \quad a_{k}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad a_{k+m-1}+{\cfrac {1}{a_{k+m}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {1}{a_{k+2}+{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}$

donde al bloque inicial [ a ₀ ,  a ₁ ,... a _k ] de k +1 denominadores parciales le sigue un bloque [ a _{k +1} ,  a _{k +2} ,... a _{k + m} ] de m parciales denominadores que se repiten hasta el infinito . Por ejemplo, se puede ampliar a la fracción continua periódica [1,2,2,2,...]. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Este artículo considera únicamente el caso de fracciones continuas regulares periódicas . En otras palabras, el resto de este artículo supone que todos los denominadores parciales a _i ( i  ≥ 1) son números enteros positivos. El caso general, donde los denominadores parciales a _i son números reales o complejos arbitrarios, se trata en el artículo Problema de convergencia .

Fracciones puramente periódicas y periódicas.

Dado que todos los numeradores parciales en una fracción continua regular son iguales a la unidad, podemos adoptar una notación abreviada en la que la fracción continua que se muestra arriba se escribe como

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m},a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m},\dots ]\\&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\overline {a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m}}}]\end{aligned}}}$

donde, en la segunda línea, un vinculum marca el bloque repetido. ^[1] Algunos libros de texto utilizan la notación

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\dot {a}}_{k+1},a_{k+2},\dots ,{\dot {a}}_{k+m}]\end{aligned}}}$

donde el bloque repetido se indica mediante puntos sobre su primer y último término. ^[2]

Si el bloque inicial no repetitivo no está presente, es decir, si k = -1, a ₀ = a _m y

${\displaystyle x=[{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}],}$

la fracción continua regular x se dice que es puramente periódica . Por ejemplo, la fracción continua regular [1; 1, 1, 1, ...] de la proporción áurea φ es puramente periódica, mientras que la fracción continua regular [1; 2, 2, 2, ...] de es periódico, pero no puramente periódico. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Como matrices unimodulares

Las fracciones periódicas continuas están en correspondencia uno a uno con los irracionales cuadráticos reales . La correspondencia la proporciona explícitamente la función de signo de interrogación de Minkowski . Ese artículo también revisa herramientas que facilitan el trabajo con este tipo de fracciones continuas. Consideremos primero la parte puramente periódica.

${\displaystyle x=[0;{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}}],}$

De hecho, esto se puede escribir como

${\displaystyle x={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}$

siendo números enteros, y se pueden obtener valores explícitos satisfactorios escribiendo ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1.}$

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}}$

lo que se denomina "cambio", de modo que

${\displaystyle S^{n}={\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}}}$

y de manera similar una reflexión, dada por

${\displaystyle T\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

de modo que . Ambas matrices son unimodulares , los productos arbitrarios siguen siendo unimodulares. Entonces, dado lo anterior, la matriz correspondiente es de la forma ^[3] ${\displaystyle T^{2}=I}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle S^{a_{1}}TS^{a_{2}}T\cdots TS^{a_{m}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

y uno tiene

${\displaystyle x=[0;{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}}]={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}$

como la forma explícita. Como todas las entradas de la matriz son números enteros, esta matriz pertenece al grupo modular ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} ).}$

Relación con los irracionales cuadráticos

Un número irracional cuadrático es una raíz real irracional de la ecuación cuadrática.

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

donde los coeficientes a , b y c son números enteros y el discriminante , b ² − 4 ac , es mayor que cero. Por la fórmula cuadrática , todo irracional cuadrático se puede escribir en la forma

${\displaystyle \zeta ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{Q}}}$

donde P , D y Q son números enteros, D > 0 no es un cuadrado perfecto (pero no necesariamente libre de cuadrados) y Q divide la cantidad P ²  −  D (por ejemplo (6+ √ 8 )/4). Un irracional cuadrático de este tipo también se puede escribir de otra forma con una raíz cuadrada de un número libre de cuadrados (por ejemplo (3+ √ 2 )/2) como se explica para los irracionales cuadráticos .

Al considerar los cocientes completos de fracciones continuas periódicas, Euler pudo demostrar que si x es una fracción continua periódica regular, entonces x es un número irracional cuadrático. La prueba es sencilla. A partir de la fracción misma, se puede construir la ecuación cuadrática con coeficientes integrales que x debe satisfacer.

Lagrange demostró lo contrario del teorema de Euler: si x es un irracional cuadrático, entonces la expansión regular en fracción continua de x es periódica. ^[4] Dado un irracional cuadrático x, se pueden construir m ecuaciones cuadráticas diferentes, cada una con el mismo discriminante, que relacionen los sucesivos cocientes completos de la expansión en fracción continua regular de x entre sí. Dado que sólo hay un número finito de estas ecuaciones (los coeficientes están acotados), los cocientes completos (y también los denominadores parciales) en la fracción continua regular que representa x eventualmente deben repetirse.

Surtido reducido

Se dice que el surd cuadrático es reducido si y su conjugado satisface las desigualdades . Por ejemplo, la proporción áurea es un surd reducido porque es mayor que uno y su conjugado es mayor que −1 y menor que cero. Por otro lado, la raíz cuadrada de dos es mayor que uno pero no es un surd reducido porque su conjugado es menor que −1. ${\displaystyle \zeta ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{Q}}}$ ${\displaystyle \zeta >1}$ ${\displaystyle \eta ={\frac {P-{\sqrt {D}}}{Q}}}$ ${\displaystyle -1<\eta <0}$ ${\displaystyle \phi =(1+{\sqrt {5}})/2=1.618033...}$ ${\displaystyle (1-{\sqrt {5}})/2=-0.618033...}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}=(0+{\sqrt {8}})/2}$ ${\displaystyle -{\sqrt {2}}=(0-{\sqrt {8}})/2}$

Galois demostró que la fracción continua regular que representa un surd cuadrático ζ es puramente periódica si y sólo si ζ es un surd reducido. De hecho, Galois demostró más que esto. También demostró que si ζ es un surd cuadrático reducido y η es su conjugado, entonces las fracciones continuas para ζ y para (−1/η) son ambas puramente periódicas, y el bloque repetido en una de esas fracciones continuas es la imagen especular. del bloque repetido en el otro. En símbolos tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}]\,\end{aligned}}}$

donde ζ es cualquier surd cuadrático reducido y η es su conjugado.

De estos dos teoremas de Galois se puede deducir un resultado ya conocido por Lagrange. Si r  > 1 es un número racional que no es un cuadrado perfecto, entonces

${\displaystyle {\sqrt {r}}=[a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}].}$

En particular, si n es cualquier entero positivo no cuadrado, la expansión de fracción continua regular de √ n contiene un bloque repetido de longitud m , en el que los primeros m  − 1 denominadores parciales forman una cadena palindrómica .

Longitud del bloque repetido

Analizando la secuencia de combinaciones.

${\displaystyle {\frac {P_{n}+{\sqrt {D}}}{Q_{n}}}}$

que posiblemente pueda surgir cuando ζ = ( P + √ D )/ Q se expande como una fracción continua regular, Lagrange demostró que el mayor denominador parcial a _i en la expansión es menor que 2 √ D , y que la longitud del bloque repetido es menor que 2D .

Más recientemente, argumentos más agudos ^{[5] [6] [7]} basados ​​en la función divisora ​​han demostrado que la longitud del bloque repetido para un surd cuadrático del discriminante D es del orden de ${\displaystyle {\mathcal {O}}({\sqrt {D}}\ln {D}).}$

Forma canónica y repetición.

El siguiente algoritmo iterativo ^[8] se puede utilizar para obtener la expansión de fracción continua en forma canónica ( S es cualquier número natural que no sea un cuadrado perfecto ):

${\displaystyle m_{0}=0\,\!}$

${\displaystyle d_{0}=1\,\!}$

${\displaystyle a_{0}=\left\lfloor {\sqrt {S}}\right\rfloor \,\!}$

${\displaystyle m_{n+1}=d_{n}a_{n}-m_{n}\,\!}$

${\displaystyle d_{n+1}={\frac {S-m_{n+1}^{2}}{d_{n}}}\,\!}$

${\displaystyle a_{n+1}=\left\lfloor {\frac {{\sqrt {S}}+m_{n+1}}{d_{n+1}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {a_{0}+m_{n+1}}{d_{n+1}}}\right\rfloor \!.}$

Observe que m _n , d _n y an _siempre son números enteros. El algoritmo termina cuando este triplete es el mismo que el encontrado antes. El algoritmo también puede terminar en a _i cuando a _i = 2 a ₀ , ^[9], lo cual es más fácil de implementar.

La ampliación se repetirá a partir de ese momento. La secuencia [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , a ₃ , ...] es la expansión fraccionaria continua:

${\displaystyle {\sqrt {S}}=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,\ddots }}}}}}}$

Ejemplo

Para obtener √ 114 como fracción continua, comience con m ₀  = 0; re ₀  = 1; y a ₀  = 10 (10 ²  = 100 y 11 ²  = 121 > 114, por lo que se elige 10).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {114}}&={\frac {{\sqrt {114}}+0}{1}}=10+{\frac {{\sqrt {114}}-10}{1}}=10+{\frac {({\sqrt {114}}-10)({\sqrt {114}}+10)}{{\sqrt {114}}+10}}\\&=10+{\frac {114-100}{{\sqrt {114}}+10}}=10+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {114}}+10}{14}}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle m_{1}=d_{0}\cdot a_{0}-m_{0}=1\cdot 10-0=10\,.}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {S-m_{1}^{2}}{d_{0}}}={\frac {114-10^{2}}{1}}=14\,.}$

${\displaystyle a_{1}=\left\lfloor {\frac {a_{0}+m_{1}}{d_{1}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10+10}{14}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {20}{14}}\right\rfloor =1\,.}$

Entonces, m1 ₌  10; d1 ₌  14; y un ₁  = 1.

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {114}}+10}{14}}=1+{\frac {{\sqrt {114}}-4}{14}}=1+{\frac {114-16}{14({\sqrt {114}}+4)}}=1+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {114}}+4}{7}}}.}$

A continuación, m2 ₌  4; re2 ₌  7; y un ₂  = 2.

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {114}}+4}{7}}=2+{\frac {{\sqrt {114}}-10}{7}}=2+{\frac {14}{7({\sqrt {114}}+10)}}=2+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {114}}+10}{2}}}.}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {114}}+10}{2}}=10+{\frac {{\sqrt {114}}-10}{2}}=10+{\frac {14}{2({\sqrt {114}}+10)}}=10+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {114}}+10}{7}}}.}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {114}}+10}{7}}=2+{\frac {{\sqrt {114}}-4}{7}}=2+{\frac {98}{7({\sqrt {114}}+4)}}=2+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {114}}+4}{14}}}.}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {114}}+4}{14}}=1+{\frac {{\sqrt {114}}-10}{14}}=1+{\frac {14}{14({\sqrt {114}}+10)}}=1+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {114}}+10}{1}}}.}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {114}}+10}{1}}=20+{\frac {{\sqrt {114}}-10}{1}}=20+{\frac {14}{{\sqrt {114}}+10}}=20+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {114}}+10}{14}}}.}$

Ahora, regrese a la segunda ecuación anterior.

En consecuencia, la fracción continua simple para la raíz cuadrada de 114 es

${\displaystyle {\sqrt {114}}=[10;{\overline {1,2,10,2,1,20}}].\,}$(secuencia A010179 en la OEIS )

√ 114 es aproximadamente 10,67707 82520. Después de una expansión del repetido, la fracción continua produce la fracción racional cuyo valor decimal es aprox. 10,67707 80856, un error relativo de 0,0000016% o 1,6 partes en 100.000.000. ${\displaystyle {\frac {21194}{1985}}}$

Fracción continua generalizada

Un método más rápido es evaluar su fracción continua generalizada . De la fórmula derivada allí :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}&=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+\ddots }}}}}}\\&=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2z-y)-y-{\cfrac {y^{2}}{2(2z-y)-{\cfrac {y^{2}}{2(2z-y)-\ddots }}}}}}\end{aligned}}}$

y el hecho de que 114 es 2/3 del camino entre 10 ² = 100 y 11 ² = 121 da como resultado

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {114}}={\cfrac {\sqrt {1026}}{3}}={\cfrac {\sqrt {32^{2}+2}}{3}}&={\cfrac {32}{3}}+{\cfrac {2/3}{64+{\cfrac {2}{64+{\cfrac {2}{64+{\cfrac {2}{64+\ddots }}}}}}}}\\&={\cfrac {32}{3}}+{\cfrac {2}{192+{\cfrac {18}{192+{\cfrac {18}{192+\ddots }}}}}},\end{aligned}}}$

que es simplemente el mencionado [10;1,2, 10,2,1, 20,1,2] evaluado cada tercer término. La combinación de pares de fracciones produce

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {114}}={\cfrac {\sqrt {32^{2}+2}}{3}}&={\cfrac {32}{3}}+{\cfrac {64/3}{2050-1-{\cfrac {1}{2050-{\cfrac {1}{2050-\ddots }}}}}}\\&={\cfrac {32}{3}}+{\cfrac {64}{6150-3-{\cfrac {9}{6150-{\cfrac {9}{6150-\ddots }}}}}},\end{aligned}}}$

que ahora se evalúa en el tercer mandato y, a partir de entonces, cada seis mandatos. ${\displaystyle [10;1,2,{\overline {10,2,1,20,1,2}}]}$

Ver también

• Fracción continua  : número representado como a0+1/(a1+1/...)
• Fracción continua generalizada  : generalización de fracciones continuas en las que los numeradores parciales y los denominadores parciales pueden asumir valores complejos arbitrarios.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• El problema de Hermite
• Método de fracción continua para calcular raíces cuadradas  : algoritmos para calcular raíces cuadradas
• Cocientes parciales restringidos
• Factorización de fracciones continua  : un algoritmo de factorización de enterosPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

1. Pettofrezzo y Byrkit 1970, pág. 158.
2. Largo 1972, pag. 187.
3. Khinchin 1964.
4. Davenport 1982, pág. 104.
5. Hickerson 1973.
6. Cohn 1977.
7. Podsypanin 1982.
8. Beceanu 2003.
9. Liga 2006.

Referencias

• Beceanu, Marius (5 de febrero de 2003). "Período de la fracción continua de sqrt (n)" (PDF) . Teorema 2.3. Archivado desde el original (PDF) el 21 de diciembre de 2015 . Consultado el 3 de mayo de 2022 .

• Cohn, JHE (1977). "La duración del período de expansión de fracción continua simple de d1/2". Pacífico J. Matemáticas . 71 : 21–32. doi : 10.2140/pjm.1977.71.21 .

• Davenport, H. (diciembre de 1982). La aritmética superior . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-28678-6.

• Gliga, Alexandra Ioana (17 de marzo de 2006). Sobre fracciones continuas de la raíz cuadrada de números primos (PDF) . Corolario 3.3 . Consultado el 3 de mayo de 2022 .

• Hickerson, Dean R. (1973). "Duración del período de expansión de fracción continua simple de vd". Pacífico J. Matemáticas . 46 : 429–432. doi : 10.2140/pjm.1973.46.429 .

• Khinchin, A. Ya. (1964) [Publicado originalmente en ruso, 1935]. Fracciones continuas . Prensa de la Universidad de Chicago . ISBN 0-486-69630-8.(Esto ya está disponible como una reimpresión en Dover Publications ).

• Largo, Calvin T. (1972). Introducción elemental a la teoría de números (3 sub ed.). Waveland Pr Inc. LCCN  77-171950.

• Pettofrezzo, Antonio José; Byrkit, Donald R. (1970). Elementos de la teoría de números (11 ed.). Acantilados de Englewood: Prentice Hall . ISBN 9780132683005. LCCN  77-81766.

• Podsypanin, EV (1982). "Duración del período de un irracional cuadrático". Revista de Matemáticas Soviéticas . 18 (6): 919–923. doi :10.1007/BF01763963. S2CID  119567810.

• Rockett, Andrew M.; Szüsz, Peter (1992). FRACCIONES CONTINUAS . Compañía editorial científica mundial. ISBN 9789810210526.