Homeomorfismo expansivo

En matemáticas , la noción de expansividad formaliza la noción de puntos que se alejan entre sí bajo la acción de una función iterada . La idea de expansividad es bastante rígida , como lo demuestra la definición de expansividad positiva, a continuación, así como el teorema de Schwarz–Ahlfors–Pick .

Definición

Si es un espacio métrico , se dice que un homeomorfismo es expansivo si hay una constante ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle f\colon X\to X}$

${\displaystyle \varepsilon _{0}>0,}$

llamada constante de expansividad , tal que para cada par de puntos en hay un entero tal que ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle d(f^{n}(x),f^{n}(y))\geq \varepsilon _{0}.}$

Tenga en cuenta que en esta definición, puede ser positivo o negativo y, por lo tanto, puede ser expansivo en dirección hacia adelante o hacia atrás. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

A menudo se supone que el espacio es compacto , ya que bajo ese supuesto la expansividad es una propiedad topológica; es decir, si es cualquier otra métrica que genere la misma topología que , y si es expansivo en , entonces es expansivo en (posiblemente con una constante de expansividad diferente). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d'}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,d')}$

Si

${\displaystyle f\colon X\to X}$

es una aplicación continua, decimos que es positivamente expansiva (o expansiva hacia adelante ) si hay una ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

de tal manera que, para cualquier en , existe un tal que . ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle d(f^{n}(x),f^{n}(y))\geq \varepsilon _{0}}$

Teorema de expansividad uniforme

Dado un homeomorfismo expansivo de un espacio métrico compacto, el teorema de expansividad uniforme establece que para cada y existe un tal que para cada par de puntos de tal que , existe un con tal que ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle N>0}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y)>\epsilon }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \vert n\vert \leq N}$

${\displaystyle d(f^{n}(x),f^{n}(y))>c-\delta ,}$

donde es la constante de expansividad de (prueba). ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$

Discusión

La expansividad positiva es mucho más fuerte que la expansividad. De hecho, se puede demostrar que si es compacto y es un homeomorfismo positivamente expansivo, entonces es finito (prueba). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Enlaces externos

• Sistemas dinámicos expansivos en Scholarpedia

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