Constante de integración

Constante que expresa ambigüedad a partir de integrales indefinidas

En cálculo , la constante de integración , a menudo denotada por (o ), es un término constante añadido a una antiderivada de una función para indicar que la integral indefinida de (es decir, el conjunto de todas las antiderivadas de ), en un dominio conexo , solo está definida hasta una constante aditiva. ^{[1] [2] [3]} Esta constante expresa una ambigüedad inherente a la construcción de antiderivadas. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Más específicamente, si una función está definida en un intervalo , y es una antiderivada de entonces el conjunto de todas las antiderivadas de está dado por las funciones donde es una constante arbitraria (lo que significa que cualquier valor de sería una antiderivada válida). Por esa razón, la integral indefinida a menudo se escribe como ^[4] aunque la constante de integración a veces se puede omitir en las listas de integrales para simplificar. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle F(x)+C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F(x)+C}$ ${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C,}$

Origen

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una antiderivada para una función, al sumar o restar cualquier constante se obtendrá otra antiderivada, porque La constante es una forma de expresar que toda función con al menos una antiderivada tendrá un número infinito de ellas. ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle C}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x).}$

Sean y dos funciones diferenciables en todas partes. Supóngase que para cada número real x . Entonces existe un número real tal que para cada número real x . ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F\,'(x)=G\,'(x)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F(x)-G(x)=C}$

Para probar esto, note que So puede ser reemplazado por y por la función constante, haciendo que el objetivo sea probar que una función diferenciable en todas partes cuya derivada es siempre cero debe ser constante: ${\displaystyle [F(x)-G(x)]'=0.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F-G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0,}$

Elija un número real y sea Para cualquier x , el teorema fundamental del cálculo , junto con el supuesto de que la derivada de se desvanece, lo que implica que ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle C=F(a).}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\,dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F(x)-C\\&F(x)=C\\\end{aligned}}}$$

demostrando así que es una función constante. ${\displaystyle F}$

Dos hechos son cruciales en esta demostración. Primero, la recta real es conexa . Si la recta real no fuera conexa, no siempre sería posible integrar desde nuestra a fija hasta cualquier x dada . Por ejemplo, si uno pidiera funciones definidas en la unión de los intervalos [0,1] y [2,3], y si a fuera 0, entonces no sería posible integrar desde 0 hasta 3, porque la función no está definida entre 1 y 2. Aquí, habrá dos constantes, una para cada componente conexo del dominio . En general, al reemplazar constantes con funciones localmente constantes , uno puede extender este teorema a dominios desconectados. Por ejemplo, hay dos constantes de integración para , e infinitas para , así que, por ejemplo, la forma general para la integral de 1/ x es: ^{[5] [6]} ${\textstyle \int dx/x}$ ${\textstyle \int \tan x\,dx}$

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$$

En segundo lugar, se supuso que y son diferenciables en todas partes. Si y no son diferenciables ni siquiera en un punto, entonces el teorema podría fallar. Como ejemplo, sea la función escalón de Heaviside , que es cero para valores negativos de x y uno para valores no negativos de x , y sea Entonces la derivada de es cero donde está definida, y la derivada de es siempre cero. Sin embargo, está claro que y no difieren en una constante, incluso si se supone que y son continuas en todas partes y casi en todas partes diferenciables, el teorema sigue fallando. Como ejemplo, tomemos que sea la función de Cantor y de nuevo sea ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle G(x)=0.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G=0.}$

Resulta que sumar y restar constantes es la única flexibilidad disponible para hallar diferentes antiderivadas de la misma función. Es decir, todas las antiderivadas son iguales hasta una constante. Para expresar este hecho, se puede escribir: donde es una constante de integración . Se determina fácilmente que todas las siguientes funciones son antiderivadas de : ${\displaystyle \cos(x),}$ $${\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}\sin(x)+{\frac {d}{dx}}C\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}}$$

Significado

La inclusión de la constante de integración es necesaria en algunas circunstancias, pero no en todas. Por ejemplo, al evaluar integrales definidas utilizando el teorema fundamental del cálculo , la constante de integración se puede ignorar, ya que siempre se cancelará consigo misma.

Sin embargo, diferentes métodos de cálculo de integrales indefinidas pueden dar como resultado múltiples antiderivadas resultantes, cada una de las cuales contiene implícitamente diferentes constantes de integración, y ninguna opción en particular puede considerarse la más simple. Por ejemplo, se pueden integrar de al menos tres maneras diferentes. ${\displaystyle 2\sin(x)\cos(x)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-\cos ^{2}(x)+C=&&\sin ^{2}(x)-1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)-{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+C\\\end{alignedat}}}$$Además, la omisión de la constante o su ajuste a cero puede hacer que resulte prohibitivo abordar una serie de problemas, como aquellos con condiciones de valor inicial . A menudo es necesaria una solución general que contenga la constante arbitraria para identificar la solución particular correcta. Por ejemplo, para obtener la antiderivada de que tiene el valor 400 en x = π, entonces solo funcionará un valor de (en este caso ). ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=400}$

La constante de integración también aparece de forma implícita o explícita en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales . Casi todas las ecuaciones diferenciales tendrán muchas soluciones, y cada constante representa la solución única de un problema de valor inicial bien planteado.

Una justificación adicional proviene del álgebra abstracta . El espacio de todas las funciones de valor real (adecuadas) en los números reales es un espacio vectorial y el operador diferencial es un operador lineal . El operador asigna una función a cero si y solo si esa función es constante. En consecuencia, el núcleo de es el espacio de todas las funciones constantes. El proceso de integración indefinida equivale a encontrar una preimagen de una función dada. No hay una preimagen canónica para una función dada, pero el conjunto de todas esas preimágenes forma una clase lateral . Elegir una constante es lo mismo que elegir un elemento de la clase lateral. En este contexto, resolver un problema de valor inicial se interpreta como estar en el hiperplano dado por las condiciones iniciales . ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$

Referencias

1. Stewart, James (2008). Cálculo: trascendentales tempranos (6.ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 0-495-01166-5.
2. Larson, Ron ; Edwards, Bruce H. (2009). Cálculo (novena edición). Brooks/Cole . ISBN 0-547-16702-4.
3. "Definición de constante de integración | Dictionary.com". www.dictionary.com . Consultado el 14 de agosto de 2020 .
4. Weisstein, Eric W. "Constante de integración". mathworld.wolfram.com . Consultado el 14 de agosto de 2020 .
5. "Encuesta de lectores: log|x| + C", Tom Leinster, The n- category Café , 19 de marzo de 2012
6. Banner, Adrian (2007). El salvavidas del cálculo: todas las herramientas que necesita para destacarse en cálculo . Princeton [ua]: Princeton University Press. p. 380. ISBN 978-0-691-13088-0.