Corriente conservada

Concepto de física y matemáticas que satisface la ecuación de continuidad.

En física, una corriente conservada es una corriente, , que satisface la ecuación de continuidad . La ecuación de continuidad representa una ley de conservación, de ahí el nombre. ${\displaystyle j^{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}$

De hecho, la integración de la ecuación de continuidad sobre un volumen , lo suficientemente grande como para no tener corrientes netas a través de su superficie, conduce a la ley de conservación donde es la cantidad conservada . ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}Q=0\;,}$$ ${\textstyle Q=\int _{V}j^{0}dV}$

En las teorías de calibración, los campos de calibración se acoplan a corrientes conservadas. Por ejemplo, el campo electromagnético se acopla a la corriente eléctrica conservada .

Cantidades conservadas y simetrías

La corriente conservada es el flujo del conjugado canónico de una cantidad que posee una simetría traslacional continua . La ecuación de continuidad para la corriente conservada es un enunciado de una ley de conservación . Ejemplos de cantidades conjugadas canónicas son:

• Tiempo y energía : la simetría traslacional continua del tiempo implica la conservación de la energía.
• Espacio y momento : la simetría traslacional continua del espacio implica la conservación del momento.
• Espacio y momento angular : la simetría rotacional continua del espacio implica la conservación del momento angular.
• Fase de la función de onda y carga eléctrica : la simetría del ángulo de fase continua de la función de onda implica la conservación de la carga eléctrica.

Las corrientes conservadas juegan un papel extremadamente importante en la física teórica , porque el teorema de Noether conecta la existencia de una corriente conservada con la existencia de una simetría de alguna cantidad en el sistema en estudio. En términos prácticos, todas las corrientes conservadas son las corrientes de Noether , ya que la existencia de una corriente conservada implica la existencia de una simetría. Las corrientes conservadas juegan un papel importante en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , ya que la existencia de una corriente conservada apunta a la existencia de constantes de movimiento , que son necesarias para definir una foliación y, por lo tanto, un sistema integrable . La ley de conservación se expresa como la desaparición de una 4- divergencia , donde la carga de Noether forma el componente cero de la 4-corriente .

Ejemplos

Electromagnetismo

La conservación de la carga , por ejemplo, en la notación de las ecuaciones de Maxwell , $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}$$

dónde

• ρ es la densidad de carga eléctrica libre (en unidades de C/m ³ )
• J es la densidad de corriente con v como la velocidad de las cargas. $${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }$$

La ecuación se aplicaría igualmente a las masas (u otras cantidades conservadas), donde la palabra masa se sustituye por las palabras carga eléctrica mencionadas anteriormente.

Campo escalar complejo

La densidad lagrangiana de un campo escalar complejo es invariante bajo la transformación de simetría. Definiendo encontramos la corriente de Noether que satisface la ecuación de continuidad. $${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\phi ^{*}\,\partial ^{\mu }\phi +V(\phi ^{*}\,\phi )}$$ $\phi :\mathbb {R} ^{n+1}\mapsto \mathbb {C}$ $${\displaystyle \phi \mapsto \phi '=\phi \,e^{i\alpha }\,.}$$ $\delta \phi =\phi '-\phi$ $${\displaystyle j^{\mu }:={\frac {d{\mathcal {L}}}{d(\partial _{\mu })\phi }}\,{\frac {d(\delta \phi )}{d\alpha }}{\bigg |}_{\alpha =0}+{\frac {d{\mathcal {L}}}{d(\partial _{\mu })\phi ^{*}}}\,{\frac {d(\delta \phi ^{*})}{d\alpha }}{\bigg |}_{\alpha =0}=i\,\phi \,(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-i\,\phi ^{*}\,(\partial ^{\mu }\phi )}$$

Véase también

• Ley de conservación (física)
• Teorema de Noether

Referencias

• Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2.ª ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. Págs. 588–596. ISBN. 0-201-02918-9.

• David J Griffiths (1999). Introducción a la electrodinámica (tercera edición). Prentice Hall. Págs. 356-357. ISBN. 978-0-13-805326-0.

• Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). "Capítulo I.2.2. Elementos de la teoría clásica de campos". Introducción a la teoría cuántica de campos . CRC Press. ISBN 978-0-201-50397-5.