En matemáticas , un semigrupo es un conjunto no vacío junto con una operación binaria asociativa . Una clase especial de semigrupos es una clase de semigrupos que satisfacen propiedades o condiciones adicionales . Así, la clase de semigrupos conmutativos consta de todos aquellos semigrupos en los que la operación binaria satisface la propiedad de conmutatividad de que ab = ba para todos los elementos a y b del semigrupo. La clase de semigrupos finitos consta de aquellos semigrupos para los cuales el conjunto subyacente tiene cardinalidad finita . Los miembros de la clase de semigrupos de Brandt deben satisfacer no sólo una condición sino un conjunto de propiedades adicionales. Se ha definido una gran colección de clases especiales de semigrupos, aunque no todos se han estudiado con la misma intensidad.
En la teoría algebraica de semigrupos, al construir clases especiales, la atención se centra únicamente en aquellas propiedades, restricciones y condiciones que pueden expresarse en términos de operaciones binarias en los semigrupos y ocasionalmente en la cardinalidad y propiedades similares de subconjuntos del conjunto subyacente. . No se supone que los conjuntos subyacentes contengan otras estructuras matemáticas como orden o topología .
Como en cualquier teoría algebraica, uno de los principales problemas de la teoría de semigrupos es la clasificación de todos los semigrupos y una descripción completa de su estructura. En el caso de semigrupos, dado que se requiere que la operación binaria satisfaga sólo la propiedad de asociatividad, el problema de clasificación se considera extremadamente difícil. Se han obtenido descripciones de estructuras para determinadas clases especiales de semigrupos. Por ejemplo, se conoce completamente la estructura de los conjuntos de idempotentes de semigrupos regulares. Las descripciones de estructuras se presentan en términos de tipos de semigrupos más conocidos. El tipo de semigrupo más conocido es el grupo .
A continuación se presenta una lista (necesariamente incompleta) de varias clases especiales de semigrupos. En la medida de lo posible, las propiedades definitorias se formulan en términos de operaciones binarias en los semigrupos. Las referencias apuntan a los lugares de donde provienen las propiedades definitorias.
Al describir las propiedades definitorias de las diversas clases especiales de semigrupos, se adoptan las siguientes convenciones de notación.
Por ejemplo, la definición xab = xba debería leerse como:
La tercera columna indica si este conjunto de semigrupos forma una variedad . Y si el conjunto de semigrupos finitos de esta clase especial forma una variedad de semigrupos finitos . Tenga en cuenta que si este conjunto es una variedad, su conjunto de elementos finitos es automáticamente una variedad de semigrupos finitos.