Progresión aritmética generalizada

Tipo de secuencia numérica

En matemáticas , una progresión aritmética generalizada (o progresión aritmética múltiple ) es una generalización de una progresión aritmética equipada con múltiples diferencias comunes; mientras que una progresión aritmética se genera mediante una única diferencia común, una progresión aritmética generalizada puede generarse mediante múltiples diferencias comunes. Por ejemplo, la secuencia no es una progresión aritmética, sino que se genera comenzando con 17 y sumando 3 o 5, lo que permite que múltiples diferencias comunes la generen. Un conjunto semilineal generaliza esta idea a múltiples dimensiones: es un conjunto de vectores de números enteros, en lugar de un conjunto de números enteros. ${\displaystyle 17,20,22,23,25,26,27,28,29,\dots }$

Progresión aritmética generalizada finita

Una progresión aritmética generalizada finita , o a veces simplemente una progresión aritmética generalizada (GAP) , de dimensión d se define como un conjunto de la forma

${\displaystyle \{x_{0}+\ell _{1}x_{1}+\cdots +\ell _{d}x_{d}:0\leq \ell _{1}<L_{1},\ldots ,0\leq \ell _{d}<L_{d}\}}$

dónde . El producto se denomina tamaño de la progresión aritmética generalizada; la cardinalidad del conjunto puede diferir del tamaño si algunos elementos del conjunto tienen múltiples representaciones. Si la cardinalidad es igual al tamaño, la progresión se llama propia . Las progresiones aritméticas generalizadas pueden considerarse como una proyección de una cuadrícula de dimensiones superiores . Esta proyección es inyectiva si y sólo si la progresión aritmética generalizada es adecuada. ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{d},L_{1},\dots ,L_{d}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle L_{1}L_{2}\cdots L_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Conjuntos semilineales

Formalmente, una progresión aritmética de es una secuencia infinita de la forma , donde y son vectores fijos en , llamados vector inicial y diferencia común respectivamente. Se dice que un subconjunto de es lineal si tiene la forma ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} +\mathbf {v} ',\mathbf {v} +2\mathbf {v} ',\mathbf {v} +3\mathbf {v} ',\ldots }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} '}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\sum _{i=1}^{m}k_{i}\mathbf {v} _{i}\,\colon \,k_{1},\dots ,k_{m}\in \mathbb {N} \right\},}$

donde es un número entero y son vectores fijos en . Se dice que un subconjunto de es semilineal si es una unión finita de conjuntos lineales. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$

Los conjuntos semilineales son exactamente los conjuntos definibles en la aritmética de Presburger . ^[1]

Ver también

• teorema de freiman

Referencias

1. Ginsburg, Seymour; Español, Edwin Henry (1966). "Semigrupos, fórmulas de Presburger y lenguajes". Revista Pacífico de Matemáticas . 16 (2): 285–296. doi : 10.2140/pjm.1966.16.285 .

• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos: problemas inversos y geometría de sumas . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 165. Saltador. ISBN 0-387-94655-1. Zbl  0859.11003.