Variables conjugadas

Variables que son duales de la transformada de Fourier

Las variables conjugadas son pares de variables definidas matemáticamente de tal manera que se convierten en duales de transformada de Fourier , ^{[1] [2]} o, de manera más general, están relacionadas a través de la dualidad de Pontryagin . Las relaciones de dualidad conducen naturalmente a una relación de incertidumbre (en física llamada principio de incertidumbre de Heisenberg) entre ellas. En términos matemáticos, las variables conjugadas son parte de una base simpléctica , y la relación de incertidumbre corresponde a la forma simpléctica . Además, las variables conjugadas están relacionadas por el teorema de Noether , que establece que si las leyes de la física son invariantes con respecto a un cambio en una de las variables conjugadas, entonces la otra variable conjugada no cambiará con el tiempo (es decir, se conservará). Las variables conjugadas en termodinámica se utilizan ampliamente.

Ejemplos

Existen muchos tipos de variables conjugadas, según el tipo de trabajo que realiza (o al que se ve sometido) un determinado sistema. Algunos ejemplos de variables conjugadas canónicamente son los siguientes:

• Tiempo y frecuencia : cuanto más se sostiene una nota musical, más precisamente conocemos su frecuencia, pero abarca una duración más larga y, por lo tanto, es un evento o "instante" más distribuido en el tiempo. Por el contrario, una nota musical muy corta se convierte en un simple clic y, por lo tanto, está más localizada temporalmente, pero no se puede determinar su frecuencia con mucha precisión. ^[3]
• Doppler y alcance : cuanto más sabemos sobre la distancia a la que se encuentra un objetivo de radar , menos podemos saber sobre la velocidad exacta de aproximación o retirada, y viceversa. En este caso, la función bidimensional de Doppler y alcance se conoce como función de ambigüedad de radar o diagrama de ambigüedad de radar .
• Energía superficial: γ  d A ( γ = tensión superficial ; A = área superficial).
• Estiramiento elástico: F  d L ( F = fuerza elástica; L longitud estirada).
• Energía y Tiempo: Unidades en Kg ${\displaystyle \Delta E\times \Delta t}$ ${\displaystyle m^{2}s^{-1}}$

Derivados de la acción

En física clásica , las derivadas de una acción son variables conjugadas a la cantidad respecto de la cual se está derivando. En mecánica cuántica, estos mismos pares de variables están relacionados por el principio de incertidumbre de Heisenberg .

• La energía de una partícula en un determinado evento es el negativo de la derivada de la acción a lo largo de una trayectoria de esa partícula que termina en ese evento con respecto al tiempo del evento.
• El momento lineal de una partícula es la derivada de su acción con respecto a su posición .
• El momento angular de una partícula es la derivada de su acción con respecto a su orientación (posición angular).
• El momento-masa ( ) de una partícula es el negativo de la derivada de su acción con respecto a su rapidez . ${\displaystyle \mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r} }$
• El potencial eléctrico (φ, voltaje ) en un evento es el negativo de la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la densidad de carga eléctrica (libre) en ese evento. ^{[ cita requerida ]}
• El potencial magnético ( A ) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la densidad de corriente eléctrica (libre) en ese evento. ^{[ cita requerida ]}
• El campo eléctrico ( E ) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la densidad de polarización eléctrica en ese evento. ^{[ cita requerida ]}
• La inducción magnética ( B ) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la magnetización en ese evento. ^{[ cita requerida ]}
• El potencial gravitacional newtoniano en un evento es el negativo de la derivada de la acción del campo gravitacional newtoniano con respecto a la densidad de masa en ese evento. ^{[ cita requerida ]}

Teoría cuántica

En mecánica cuántica , las variables conjugadas se materializan como pares de observables cuyos operadores no conmutan. En la terminología convencional, se dice que son observables incompatibles . Consideremos, como ejemplo, las cantidades mensurables dadas por la posición y el momento . En el formalismo mecánico cuántico, los dos observables y corresponden a los operadores y , que necesariamente satisfacen la relación de conmutación canónica : ${\displaystyle \left(x\right)}$ ${\displaystyle \left(p\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\widehat {x}}}$ ${\displaystyle {\widehat {p\,}}}$ $${\displaystyle [{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{\widehat {x}}=i\hbar }$$

Para cada conmutador distinto de cero de dos operadores, existe un "principio de incertidumbre", que en nuestro ejemplo actual puede expresarse en la forma: $${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2}$$

En esta notación mal definida, y denotan "incertidumbre" en la especificación simultánea de y . Una declaración más precisa y estadísticamente completa que involucra la desviación estándar dice: ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2}$$

De manera más general, para dos observables cualesquiera y correspondientes a los operadores y , el principio de incertidumbre generalizada viene dado por: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ ${\displaystyle {\widehat {B}}}$ $${\displaystyle {\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{\widehat {A}},{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}}$$

Ahora supongamos que definimos explícitamente dos operadores particulares, asignando a cada uno una forma matemática específica , de modo que el par satisfaga la relación de conmutación antes mencionada. Es importante recordar que nuestra "elección" particular de operadores simplemente reflejaría una de las muchas representaciones equivalentes o isomórficas de la estructura algebraica general que caracteriza fundamentalmente a la mecánica cuántica. La generalización la proporciona formalmente el álgebra de Lie de Heisenberg , con un grupo correspondiente llamado grupo de Heisenberg . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}}$ ${\displaystyle H_{3}}$

Mecánica de fluidos

En la mecánica de fluidos hamiltoniana y la hidrodinámica cuántica , la acción misma (o potencial de velocidad ) es la variable conjugada de la densidad (o densidad de probabilidad ).

Véase también

• Coordenadas canónicas

Notas

1. "Heisenberg – Mecánica cuántica, 1925-1927: Las relaciones de incertidumbre". Archivado desde el original el 22 de diciembre de 2015. Consultado el 7 de agosto de 2010 .
2. Hjalmars, S. (1962). "Algunas observaciones sobre el tiempo y la energía como variables conjugadas". Il Nuovo Cimento . 25 (2): 355–364. Bibcode :1962NCim...25..355H. doi :10.1007/BF02731451. S2CID  120008951.
3. Mann, S.; Haykin, S. (noviembre de 1995). "La transformada de chirplet: consideraciones físicas" (PDF) . IEEE Transactions on Signal Processing . 43 (11): 2745–2761. Bibcode :1995ITSP...43.2745M. doi :10.1109/78.482123.