Conjunción lógica

Conectiva lógica AND

Diagrama de Venn de ${\displaystyle A\wedge B\land C}$

En lógica , matemáticas y lingüística , y ( ) es el operador veritativo-funcional de conjunción o conjunción lógica . El conectivo lógico de este operador se representa típicamente como ^[1] o o (prefijo) o o ^[2] en el que es el más moderno y ampliamente utilizado. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \&}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \wedge }$

El y de un conjunto de operandos es verdadero si y sólo si todos sus operandos son verdaderos, es decir, es verdadero si y sólo si es verdadero y es verdadero. ${\displaystyle A\land B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Un operando de una conjunción es un conjuntivo . ^[3]

Más allá de la lógica, el término "conjunción" también hace referencia a conceptos similares en otros campos:

• En lenguaje natural , la denotación de expresiones como " y " en inglés ;
• En lenguajes de programación , la estructura de cortocircuito y control ;
• En teoría de conjuntos , intersección .
• En teoría de redes , conjunción lógica ( máximo límite inferior ).

Notación

Y se denota generalmente por un operador infijo: en matemáticas y lógica, se denota por una "cuña" (Unicode U+2227 ∧ LOGICAL AND ), ^[1] o ; en electrónica, ; y en lenguajes de programación, , , o . En la notación de prefijo de Jan Łukasiewicz para lógica , el operador es , para koniunkcja en polaco . ^[4] ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \&}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \cdot }$&&&and ${\displaystyle K}$

En matemáticas, la conjunción de un número arbitrario de elementos se puede denotar como una operación binaria iterada utilizando una "cuña grande" ⋀ (Unicode U+22C0 ⋀ N-ARY LOGICAL AND ): ^[5] ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle \bigwedge _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\wedge a_{2}\wedge \ldots a_{n-1}\wedge a_{n}}$

Definición

La conjunción lógica es una operación sobre dos valores lógicos , típicamente los valores de dos proposiciones , que produce un valor verdadero si y solo si (también conocido como si y solo si) ambos operandos son verdaderos. ^{[2] [1]}

La identidad conjuntiva es verdadera, lo que quiere decir que la operación AND de una expresión con true nunca cambiará el valor de la expresión. De acuerdo con el concepto de verdad vacía , cuando la conjunción se define como un operador o función de aridad arbitraria , la conjunción vacía (operación AND sobre un conjunto vacío de operandos) se define a menudo como que tiene como resultado verdadero.

Tabla de verdad

Conjunciones de los argumentos de la izquierda: Los bits verdaderos s forman un triángulo de Sierpinski .

La tabla de verdad de : ^{[1] [2]} ${\displaystyle A\land B}$

Definido por otros operadores

En sistemas donde la conjunción lógica no es un primitivo, puede definirse como ^[6]

${\displaystyle A\land B=\neg (A\to \neg B)}$

Esto se puede comprobar mediante la siguiente tabla de verdad (compare las dos últimas columnas):

o

${\displaystyle A\land B=\neg (\neg A\lor \neg B).}$

Esto se puede comprobar mediante la siguiente tabla de verdad (compare las dos últimas columnas):

Reglas de introducción y eliminación

Como regla de inferencia, la introducción de una conjunción es una forma de argumento simple y clásicamente válida . La forma de argumento tiene dos premisas y . Intuitivamente, permite la inferencia de su conjunción. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A}$,

${\displaystyle B}$.

Por lo tanto , A y B.

o en notación de operador lógico :

${\displaystyle A,}$

${\displaystyle B}$

${\displaystyle \vdash A\land B}$

He aquí un ejemplo de un argumento que se ajusta a la forma conjunción introducción :

A Bob le gustan las manzanas.

A Bob le gustan las naranjas.

Por lo tanto, a Bob le gustan las manzanas y a Bob le gustan las naranjas.

La eliminación de conjunciones es otra forma de argumento simple y clásicamente válida . Intuitivamente, permite la inferencia a partir de cualquier conjunción de cualquiera de sus elementos.

${\displaystyle A}$y . ${\displaystyle B}$

Por lo tanto, . ${\displaystyle A}$

...o alternativamente,

${\displaystyle A}$y . ${\displaystyle B}$

Por lo tanto, . ${\displaystyle B}$

En notación de operador lógico :

${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle \vdash A}$

...o alternativamente,

${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle \vdash B}$

Negación

Definición

Se demuestra que una conjunción es falsa al establecer o bien o bien . En términos del lenguaje objeto, esto se lee ${\displaystyle A\land B}$ ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle \neg B}$

${\displaystyle \neg A\to \neg (A\land B)}$

Esta fórmula puede considerarse un caso especial de

${\displaystyle (A\to C)\to ((A\land B)\to C)}$

¿Cuándo es una proposición falsa? ${\displaystyle C}$

Otras estrategias de prueba

Si implica , entonces tanto como como demuestren que la conjunción es falsa: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \neg B}$ ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle (A\to \neg {}B)\to \neg (A\land B)}$

En otras palabras, se puede demostrar que una conjunción es falsa simplemente conociendo la relación entre sus conjunciones, y no necesariamente conociendo sus valores de verdad.

Esta fórmula puede considerarse un caso especial de

${\displaystyle (A\to (B\to C))\to ((A\land B)\to C)}$

¿Cuándo es una proposición falsa? ${\displaystyle C}$

Cualquiera de las anteriores son pruebas constructivamente válidas por contradicción.

Propiedades

conmutatividad : si

asociatividad : sí ^[7]

distributividad : con diversas operaciones, especialmente con o

idempotencia : sí

monotonía : si

preservación de la verdad: sí
Cuando todas las entradas son verdaderas, la salida es verdadera.

preservación de falsedad: sí
Cuando todas las entradas son falsas, la salida es falsa.

Espectro de Walsh : (1,-1,-1,1)

No linealidad : 1 (la función está doblada )

Si se utilizan valores binarios para verdadero (1) y falso (0), entonces la conjunción lógica funciona exactamente como la multiplicación aritmética normal .

Aplicaciones en ingeniería informática

Puerta lógica AND

En la programación informática de alto nivel y la electrónica digital , la conjunción lógica se representa habitualmente mediante un operador infijo, normalmente como una palabra clave como " AND", una multiplicación algebraica o el símbolo & &(a veces duplicado como en &&). Muchos lenguajes también proporcionan estructuras de control de cortocircuito correspondientes a la conjunción lógica.

La conjunción lógica se utiliza a menudo para operaciones bit a bit, donde 0corresponde a falso y 1a verdadero:

• 0 AND 0  =  0,
• 0 AND 1  =  0,
• 1 AND 0  =  0,
• 1 AND 1  =  1.

La operación también se puede aplicar a dos palabras binarias vistas como cadenas de bits de igual longitud, realizando la operación AND bit a bit de cada par de bits en las posiciones correspondientes. Por ejemplo:

• 11000110 AND 10100011  =  10000010.

Esto se puede utilizar para seleccionar parte de una cadena de bits mediante una máscara de bits . Por ejemplo,  =  extrae el cuarto bit de una cadena de bits de 8 bits.10011101 AND 0000100000001000

En redes de computadoras , las máscaras de bits se utilizan para derivar la dirección de red de una subred dentro de una red existente a partir de una dirección IP dada , mediante la operación AND de la dirección IP y la máscara de subred .

La conjunción lógica " AND" también se utiliza en operaciones SQL para formar consultas de base de datos .

La correspondencia Curry-Howard relaciona la conjunción lógica con los tipos de productos .

Correspondencia de teoría de conjuntos

La pertenencia de un elemento de un conjunto de intersección en la teoría de conjuntos se define en términos de una conjunción lógica: si y solo si . A través de esta correspondencia, la intersección en la teoría de conjuntos comparte varias propiedades con la conjunción lógica, como la asociatividad , la conmutatividad y la idempotencia . ${\displaystyle x\in A\cap B}$ ${\displaystyle (x\in A)\wedge (x\in B)}$

Lenguaje natural

Al igual que otras nociones formalizadas en la lógica matemática, la conjunción lógica y está relacionada con, pero no es igual a, la conjunción gramatical y en los lenguajes naturales.

El verbo "and" en inglés tiene propiedades que no se captan mediante una conjunción lógica. Por ejemplo, "and" a veces implica un orden que tiene el sentido de "then". Por ejemplo, "They got married and had a child" en el habla común significa que el matrimonio se produjo antes del hijo.

La palabra "y" también puede implicar la división de una cosa en partes, como "La bandera estadounidense es roja, blanca y azul". Aquí, no se quiere decir que la bandera sea a la vez roja, blanca y azul, sino que tiene una parte de cada color.

Véase también

• Gráfico de inversor-and
• Puerta AND
• AND bit a bit
• Álgebra de Boole
• Consulta conjuntiva booleana
• Dominio booleano
• Función booleana
• Función con valor booleano
• Dualidad conjunción/disyunción
• Eliminación de conjunciones
• Conjunción (gramática)
• Leyes de De Morgan
• Lógica de primer orden
• Desigualdades de Fréchet
• Homogeneidad (lingüística)
• Lista de temas de álgebra de Boole
• Disyunción lógica
• Gráfico lógico
• Negación
• Operación
• Notación de Peano-Russell
• Cálculo proposicional

Referencias

1. «2.2: Conjunciones y disyunciones». Matemáticas LibreTexts . 2019-08-13 . Consultado el 2020-09-02 .
2. "Conjunción, negación y disyunción". philosophy.lander.edu . Consultado el 2 de septiembre de 2020 .
3. Beall, Jeffrey C. (2010). Lógica: los fundamentos . Fundamentos (1.ª edición). Londres: Routledge. p. 17. ISBN 978-0-203-85155-5.
4. Józef Maria Bocheński (1959), Un resumen de lógica matemática , traducido por Otto Bird de las ediciones en francés y alemán, Dordrecht, Holanda Meridional: D. Reidel, passim.
5. Weisstein, Eric W. "Conjunción". MathWorld--Un recurso web de Wolfram . Consultado el 24 de septiembre de 2024 .
6. Smith, Peter. "Tipos de sistemas de prueba" (PDF) . pág. 4.
7. Howson, Colin (1997). Lógica con árboles: una introducción a la lógica simbólica . Londres; Nueva York: Routledge. p. 38. ISBN 978-0-415-13342-5.

Enlaces externos

• "Conjunción", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: Conjunción
• "Tabla de propiedades y verdad de las proposiciones AND". Archivado desde el original el 6 de mayo de 2017.