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Teorema del alma

En matemáticas , el teorema del alma es un teorema de la geometría de Riemann que reduce en gran medida el estudio de variedades completas de curvatura seccional no negativa al del caso compacto . Jeff Cheeger y Detlef Gromoll demostraron el teorema en 1972 generalizando un resultado de 1969 de Gromoll y Wolfgang Meyer. La conjetura del alma relacionada , formulada por Cheeger y Gromoll en ese momento, fue demostrada veinte años después por Grigori Perelman .

Teorema del alma

El teorema del alma de Cheeger y Gromoll establece: [1]

Si ( M , g ) es una variedad riemanniana completamente conexa con curvatura seccional no negativa , entonces existe una subvariedad cerrada , totalmente convexa y totalmente geodésica incrustada cuyo fibrado normal es difeomorfo a M .

Una subvariedad de este tipo se denomina alma de ( M , g ) . Por la ecuación de Gauss y la geodesicidad total, la métrica de Riemann inducida en el alma tiene automáticamente una curvatura seccional no negativa. Gromoll y Meyer habían estudiado anteriormente el caso de la curvatura seccional positiva, donde demostraron que un alma está dada por un único punto y, por lo tanto, que M es difeomórfica al espacio euclidiano . [2]

Ejemplos muy simples, como el siguiente, muestran que el alma no está determinada únicamente por ( M , g ) en general. Sin embargo, Vladimir Sharafutdinov construyó una retracción de 1-Lipschitz desde M a cualquiera de sus almas, mostrando así que dos almas cualesquiera son isométricas . Esta aplicación se conoce como la retracción de Sharafutdinov . [3]

Cheeger y Gromoll también plantearon la pregunta inversa de si existe una métrica riemanniana completa de curvatura seccional no negativa en el espacio total de cualquier fibrado vectorial sobre una variedad cerrada de curvatura seccional positiva. [4] Ahora se sabe que la respuesta es negativa, aunque la teoría de la existencia no se entiende completamente. [5]

Ejemplos.

Conjetura del alma

Como se mencionó anteriormente, Gromoll y Meyer demostraron que si g tiene una curvatura seccional positiva, entonces el alma es un punto. Cheeger y Gromoll conjeturaron que esto se cumpliría incluso si g tuviera una curvatura seccional no negativa, y que la positividad solo se requería de todas las curvaturas seccionales en un único punto. [8] Esta conjetura del alma fue demostrada por Grigori Perelman , quien estableció el hecho más poderoso de que la retracción de Sharafutdinov es una inmersión riemanniana , e incluso una submetría . [5]

Referencias

  1. ^ Cheeger y Ebin 2008, capítulo 8; Petersen 2016, Teorema 12.4.1; Sakai 1996, Teorema V.3.4.
  2. ^ Petersen 2016, pág. 462; Sakai 1996, Corolario V.3.5.
  3. ^ Chow et al. 2010, Teorema I.25.
  4. ^ Yau 1982, Problema 6.
  5. ^ por Petersen 2016, pág. 469.
  6. ^ Petersen 2016, Ejemplo 12.4.4; Sakai 1996, pág. 217.
  7. ^ Petersen 2016, Ejemplo 12.4.3; Sakai 1996, pág. 217.
  8. ^ Sakai 1996, pág. 217; Yau 1982, Problema 18.

Fuentes.