Conjetura de Ryu-Takayanagi

La conjetura de Ryu-Takayanagi es una conjetura dentro de la holografía que postula una relación cuantitativa entre la entropía de entrelazamiento de una teoría de campos conforme y la geometría de un espacio-tiempo anti-de Sitter asociado . ^{[1] [2]} La fórmula caracteriza "pantallas holográficas" en su mayor parte; es decir, especifica qué regiones de la geometría masiva son "responsables de información particular en el CFT dual". ^[3] La conjetura lleva el nombre de Shinsei Ryu  [de] y Tadashi Takayanagi  [de] , quienes publicaron conjuntamente el resultado en 2006. ^[4] Como resultado, los autores recibieron el Premio Nuevos Horizontes en Física 2015 por "ideas fundamentales sobre la entropía en la teoría cuántica de campos y la gravedad cuántica". ^[5] La fórmula se generalizó a una forma covariante en 2007. ^[6]

Motivación

La termodinámica de los agujeros negros sugiere ciertas relaciones entre la entropía de los agujeros negros y su geometría. Específicamente, la fórmula del área de Bekenstein-Hawking conjetura que la entropía de un agujero negro es proporcional a su superficie:

${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {k_{\text{B}}A}{4\ell _{\text{P}}^{2}}}}$

La entropía de Bekenstein-Hawking es una medida de la información que los observadores externos pierden debido a la presencia del horizonte. El horizonte del agujero negro actúa como una "pantalla" que distingue una región del espacio-tiempo (en este caso el exterior del agujero negro) que no se ve afectada por otra región (en este caso el interior). La ley del área de Bekenstein-Hawking establece que el área de esta superficie es proporcional a la entropía de la información que se pierde detrás de ella. ${\displaystyle S_{\text{BH}}}$

La entropía de Bekenstein-Hawking es una afirmación sobre la entropía gravitacional de un sistema; sin embargo, hay otro tipo de entropía que es importante en la teoría de la información cuántica, a saber, la entropía de entrelazamiento (o von Neumann) . Esta forma de entropía proporciona una medida de qué tan lejos de un estado puro está un estado cuántico dado o, de manera equivalente, qué tan entrelazado está. La entropía de entrelazamiento es un concepto útil en muchas áreas, como en la física de la materia condensada y los sistemas cuánticos de muchos cuerpos. Dado su uso y su sugerente similitud con la entropía de Bekenstein-Hawking, es deseable tener una descripción holográfica de la entropía de entrelazamiento en términos de gravedad.

Preliminares holográficos

El principio holográfico establece que las teorías gravitacionales en una dimensión determinada son duales a una teoría de calibre en una dimensión inferior. La correspondencia AdS/CFT es un ejemplo de tal dualidad. En este caso, la teoría de campos se define sobre un fondo fijo y equivale a una teoría gravitacional cuántica, cuyos diferentes estados corresponden cada uno a una posible geometría del espacio-tiempo. A menudo se considera que la teoría de campos conformes vive en el límite del espacio de dimensiones superiores cuya teoría gravitacional define. El resultado de tal dualidad es un diccionario entre las dos descripciones equivalentes. Por ejemplo, en un CFT definido en el espacio dimensional de Minkowski , el estado de vacío corresponde al espacio AdS puro, mientras que el estado térmico corresponde a un agujero negro plano. ^[7] Es importante para la presente discusión que el estado térmico de un CFT definido en la esfera dimensional corresponde al agujero negro dimensional de Schwarzschild en el espacio AdS. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d+1}$

La ley del área de Bekenstein-Hawking, si bien afirma que el área del horizonte del agujero negro es proporcional a la entropía del agujero negro, no proporciona una descripción microscópica suficiente de cómo surge esta entropía. El principio holográfico proporciona tal descripción al relacionar el sistema de agujeros negros con un sistema cuántico que admite tal descripción microscópica. En este caso, el CFT tiene estados propios discretos y el estado térmico es el conjunto canónico de estos estados. ^[7] La ​​entropía de este conjunto se puede calcular por medios normales y produce el mismo resultado predicho por la ley del área. Este resulta ser un caso especial de la conjetura de Ryu-Takayanagi.

Conjetura

Consideremos una porción espacial de un espacio-tiempo de AdS en cuyo límite definimos el CFT dual. La fórmula Ryu-Takayanagi establece: ${\displaystyle \Sigma }$

donde está la entropía de entrelazamiento del CFT en alguna subregión espacial con su complemento , y es la superficie Ryu-Takayanagi en su mayor parte. ^[1] Esta superficie debe satisfacer tres propiedades: ^[7] ${\displaystyle S_{A}}$ ${\displaystyle A\subset \partial \Sigma }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \gamma _{A}}$

1. ${\displaystyle \gamma _{A}}$tiene el mismo límite que . ${\displaystyle A}$
2. ${\displaystyle \gamma _{A}}$es homóloga a A.
3. ${\displaystyle \gamma _{A}}$Extrema la zona. Si hay múltiples superficies extremas, es la que tiene menor área. ${\displaystyle \gamma _{A}}$

Debido a la propiedad (3), esta superficie normalmente se denomina superficie mínima cuando el contexto es claro. Además, la propiedad (1) garantiza que la fórmula conserve ciertas características de la entropía de entrelazamiento, como y . La conjetura proporciona una interpretación geométrica explícita de la entropía de entrelazamiento del límite CFT, es decir, como el área de una superficie en masa. ${\displaystyle S_{A}=S_{B}}$ ${\displaystyle S_{A_{1}+A_{2}}\geq S_{A_{1}\cup A_{2}}}$

Ejemplo

En su artículo original, Ryu y Takayanagi muestran este resultado explícitamente en un ejemplo en el que ya se conoce una expresión para la entropía de entrelazamiento. ^[1] Para un espacio de radio , el CFT dual tiene una carga central dada por ${\displaystyle {\text{AdS}}_{3}/{\text{CFT}}_{2}}$ ${\displaystyle {\text{AdS}}_{3}}$ ${\displaystyle R}$

Además, tiene la métrica ${\displaystyle {\text{AdS}}_{3}}$

${\displaystyle ds^{2}=R^{2}(-\cosh {\rho ^{2}dt^{2}}+d\rho ^{2}+\sinh {\rho ^{2}d\theta ^{2}})}$

en (esencialmente una pila de discos hiperbólicos ). Dado que esta métrica diverge en , se restringe a . Este acto de imponer un máximo es análogo al CFT correspondiente que tiene un límite de UV. Si es la longitud del sistema CFT, en este caso la circunferencia del cilindro calculada con la métrica adecuada, y es el espaciamiento de la red, tenemos ${\displaystyle (t,\rho ,\theta )}$ ${\displaystyle \rho \to \infty }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho \leq \rho _{0}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle e^{\rho _{0}}\sim L/a}$.

En este caso, el límite CFT se encuentra en las coordenadas . Considere un segmento fijo y tome la subregión A del límite donde está la longitud de . La superficie mínima es fácil de identificar en este caso, ya que es solo la geodésica a través del bulto la que conecta y . Recordando el corte de la red, la longitud de la geodésica se puede calcular como ${\displaystyle (t,\rho _{0},\theta )=(t,\theta )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi l/L]}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle \theta =2\pi l/L}$

Si se supone que , entonces se utiliza la fórmula de Ryu-Takayanagi para calcular la entropía de entrelazamiento. Sustituyendo la longitud de la superficie mínima calculada en ( 3 ) y recordando la carga central ( 2 ), la entropía de entrelazamiento viene dada por ${\displaystyle e^{\rho _{0}}>>1}$

Esto concuerda con el resultado calculado por medios habituales. ^[8]

Referencias

1. Ryu, Shinsei; Takayanagi, Tadashi (21 de agosto de 2006). "Aspectos de la entropía del entrelazamiento holográfico". Revista de Física de Altas Energías . 2006 (8): 045. arXiv : hep-th/0605073 . Código Bib : 2006JHEP...08..045R. doi :10.1088/1126-6708/2006/08/045. ISSN  1029-8479. S2CID  14858887.
2. Instituto Stanford de Física Teórica (15 de octubre de 2015), Gravedad y entrelazamiento , consultado el 7 de mayo de 2017
3. Fukami, Masaya (marzo de 2018), Introducción a la fórmula Ryu-Takayanagi (PDF) , p. 2
4. Ryu, Shinsei; Takayanagi, Tadashi (mayo de 2006). "Derivación holográfica de la entropía de entrelazamiento de AdS/CFT". Física. Rev. Lett . 96 (18): 181602. arXiv : hep-th/0603001 . doi : 10.1103/PhysRevLett.96.181602. PMID  16712357. S2CID  119441463.
5. "Se anunciaron los ganadores de los premios Breakthrough Awards de 2015 en física fundamental y ciencias biológicas". www.breakthroughprize.org . Consultado el 3 de agosto de 2018 .
6. Hubeny, Verónika E.; Rangamani, Mukund; Takayanagi, Tadashi (23 de julio de 2007). "Una propuesta de entropía de entrelazamiento holográfico covariante". JHEP . 2007 (7): 062. arXiv : 0705.0016 . Código Bib : 2007JHEP...07..062H. doi :10.1088/1126-6708/2007/07/062. S2CID  15206042.
7. Van Raamsdonk, Mark (31 de agosto de 2016). "Conferencias sobre gravedad y entrelazamiento". Nuevas fronteras en campos y cuerdas . págs. 297–351. arXiv : 1609.00026 . doi :10.1142/9789813149441_0005. ISBN 978-981-314-943-4. S2CID  119273886.
8. Calabrese, Pasquale; Cardy, John (11 de junio de 2004). "Entropía de entrelazamiento y teoría cuántica de campos". Revista de Mecánica Estadística: Teoría y Experimento . P06002 (6): P06002. arXiv : hep-th/0405152 . Código Bib : 2004JSMTE..06..002C. doi :10.1088/1742-5468/2004/06/P06002. S2CID  15945690.