energía de moebius

En matemáticas , la energía de Möbius de un nudo es una energía de nudo particular , es decir, una energía funcional en el espacio de los nudos. Fue descubierto por Jun O'Hara , quien demostró que la energía explota cuando las hebras del nudo se acercan unas a otras. ^[1] Esta es una propiedad útil porque evita la autointersección y garantiza que el resultado bajo descenso de gradiente sea del mismo tipo de nudo.

Michael Freedman , Zheng-Xu He y Zhenghan Wang (1994) demostraron la invariancia de la energía de Möbius bajo las transformaciones de Möbius, quienes la utilizaron para mostrar la existencia de un minimizador de energía en cada clase de isotopía de un nudo primo . También demostraron que la energía mínima de cualquier conformación de nudo se logra mediante un círculo redondo. ^[2] ${\displaystyle C^{1,1}}$

Conjeturalmente, no existe un minimizador de energía para los nudos compuestos. Robert B. Kusner y John M. Sullivan realizaron experimentos por computadora con una versión discretizada de la energía de Möbius y concluyeron que no debería haber ningún minimizador de energía para la suma de nudos de dos tréboles (aunque esto no es una prueba).

Recuerde que las transformaciones de Möbius de las 3 esferas son el grupo de diez dimensiones de difeomorfismos que conservan el ángulo generados por la inversión en 2 esferas. Por ejemplo, la inversión en la esfera está definida por ${\displaystyle S^{3}=\mathbf {R} ^{3}\cup \infty }$ ${\displaystyle \{\mathbf {v} \in \mathbf {R} ^{3}\colon |\mathbf {v} -\mathbf {a} |=\rho \}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \to \mathbf {a} +{\rho ^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {a} |^{2}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} ).}$

Considere una curva simple rectificable en el espacio tridimensional euclidiano , donde pertenece a o . Defina su energía por ${\displaystyle \gamma (u)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

${\displaystyle E(\gamma )=\iint \left\{{\frac {1}{|\gamma (u)-\gamma (v)|^{2}}}-{\frac {1}{D(\gamma (u),\gamma (v))^{2}}}\right\}|{\dot {\gamma }}(u)||{\dot {\gamma }}(v)|\,du\,dv,}$

¿Dónde está la distancia de arco más corta entre y sobre la curva? El segundo término del integrando se llama regularización. Es fácil ver que es independiente de la parametrización y no cambia si se cambia por una similitud de . Además, la energía de cualquier línea es 0, la energía de cualquier círculo es . De hecho, usemos la parametrización de longitud de arco. Denotar por la longitud de la curva . Entonces ${\displaystyle D(\gamma (u),\gamma (v))}$ ${\displaystyle \gamma (u)}$ ${\displaystyle \gamma (v)}$ ${\displaystyle E(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle E(\gamma )=\int _{-\ell /2}^{\ell /2}{}dx\int _{x-\ell /2}^{x+\ell /2}\left[{1 \over |\gamma (x)-\gamma (y)|^{2}}-{1 \over |x-y|^{2}}\right]dy.}$

Denotemos un círculo unitario. Tenemos ${\displaystyle \gamma _{0}(t)=(\cos t,\sin t,0)}$

${\displaystyle |\gamma _{0}(x)-\gamma _{0}(y)|^{2}={\left(2\sin {\tfrac {1}{2}}(x-y)\right)^{2}}}$

y consecuentemente,

${\displaystyle {\begin{aligned}E(\gamma _{0})&=\int _{-\pi }^{\pi }{}dx\int _{x-\pi }^{x+\pi }\left[{1 \over \left(2\sin {\tfrac {1}{2}}(x-y)\right)^{2}}-{1 \over |x-y|^{2}}\right]dy\\&=4\pi \int _{0}^{\pi }\left[{1 \over \left(2\sin(y/2)\right)^{2}}-{1 \over |y|^{2}}\right]dy\\&=2\pi \int _{0}^{\pi /2}\left[{1 \over \sin ^{2}y}-{1 \over |y|^{2}}\right]dy\\&=2\pi \left[{1 \over u}-\cot u\right]_{u=0}^{\pi /2}=4\end{aligned}}}$

desde . ${\displaystyle {\frac {1}{u}}-\cot u={\frac {u}{3}}-\cdots }$

Nudo invariante

A la izquierda, el desatado y un nudo equivalente. Puede resultar más difícil determinar si los nudos complejos, como el de la derecha, son equivalentes al desanudado.

Un nudo se crea comenzando con un segmento de línea unidimensional , envolviéndolo alrededor de sí mismo arbitrariamente y luego fusionando sus dos extremos libres para formar un bucle cerrado. ^[3] Matemáticamente, podemos decir que un nudo es una función inyectiva y continua con . Los topólogos consideran que los nudos y otros enredos, como eslabones y trenzas, son equivalentes si el nudo se puede empujar suavemente, sin cruzarse, para que coincida con otro nudo. La idea de equivalencia de nudos es dar una definición precisa de cuándo dos nudos deben considerarse iguales incluso cuando están colocados de manera muy diferente en el espacio. Una definición matemática es que dos nudos son equivalentes si hay un homeomorfismo que preserva la orientación con , y se sabe que esto es equivalente a la existencia de una isotopía ambiental . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle K(0)=K(1)}$ ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$ ${\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle h(K_{1})=K_{2}}$

El problema básico de la teoría de nudos, el problema de reconocimiento , es determinar la equivalencia de dos nudos. Existen algoritmos para resolver este problema; el primero fue propuesto por Wolfgang Haken a finales de los años 1960. ^[4] No obstante, estos algoritmos pueden consumir mucho tiempo y una cuestión importante en la teoría es comprender qué tan difícil es realmente este problema. ^[4] El caso especial de reconocer el desanudado , llamado problema de desanudado , es de particular interés. ^[5] Representaremos un nudo mediante una curva suave en lugar de un polígono. Un nudo estará representado por un diagrama plano. Las singularidades del diagrama plano se denominarán puntos de cruce y las regiones en que subdivide las regiones planas del diagrama. En cada punto de cruce, dos de las cuatro esquinas estarán punteadas para indicar qué rama que pasa por el punto de cruce se considerará que pasa por debajo de la otra. Numeramos cualquier región al azar, pero fijaremos los números de todas las regiones restantes de modo que cada vez que crucemos la curva de derecha a izquierda debamos pasar del número de región al número de región . Claramente, en cualquier punto de cruce , hay dos esquinas opuestas del mismo número y dos esquinas opuestas de los números y , respectivamente. El número se conoce como índice de . Los puntos de cruce se distinguen en dos tipos: los diestros y los zurdos, según qué ramal por el punto pasa por debajo o por detrás del otro. En cualquier punto de cruce del índice, dos esquinas punteadas son de números y , respectivamente, dos esquinas sin puntos de números y . El índice de cualquier esquina de cualquier región del índice es un elemento de . Deseamos distinguir un tipo de nudo de otro mediante invariantes de nudo. Hay una invariante que es bastante simple. Es un polinomio de Alexander con coeficiente entero. El polinomio de Alexander es simétrico con el grado : para todos los nudos de puntos de cruce. Por ejemplo, el invariante de una curva no anudada es 1, el de un nudo trébol es . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{k\pm 1,k\}}$ ${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{K}(t^{-1})t^{n-1}=\Delta _{K}(t)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$ ${\displaystyle t^{2}-t+1}$

• 
  El nudo trébol zurdo.
• 
  El nudo trébol diestro.

Dejar

${\displaystyle \omega ({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{4\pi }}\varepsilon _{ijk}{x^{i}dx^{j}\wedge dx^{k} \over |{\boldsymbol {x}}|^{3}}}$denota el elemento de superficie estándar de . ${\displaystyle S^{2}}$

Tenemos

${\displaystyle \mathrm {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})=\int _{{\boldsymbol {x}}\in \gamma _{1},{\boldsymbol {y}}\in \gamma _{2}}\omega ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})}$

${\displaystyle \int _{S^{2}}\omega ({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{S^{2}}\varepsilon _{ijk}x^{i}dx^{j}dx^{k}=1,\qquad \omega (\lambda {\boldsymbol {x}})=\omega ({\boldsymbol {x}}){\rm {sign}}\lambda ,\quad {\rm {for}}\quad \lambda \in \mathbb {R} ^{*}.}$

Para el nudo , , ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)}$

${\displaystyle \int _{t_{1}<t_{2}<t_{3}<t_{4}<1}\omega (\gamma (t_{1})-\gamma (t_{3}))\wedge \omega (\gamma (t_{2})-\gamma (t_{4}))}$

${\displaystyle +\int _{t_{1}<t_{2}<t_{3},{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\setminus \gamma ([0,1])}\omega (\gamma (t_{1})-{\boldsymbol {x}})\wedge \omega (\gamma (t_{2})-{\boldsymbol {x}})\wedge \omega (\gamma (t_{3})-{\boldsymbol {x}})}$

no cambia, si cambiamos el nudo en su clase de equivalencia. ${\displaystyle \gamma }$

Propiedad de invariancia de Möbius

Sea una curva cerrada en y una transformación de Möbius de . Si está contenido en entonces . Si pasa entonces . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \infty }$ ${\displaystyle T(\gamma )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle E(T(\gamma ))=E(\gamma )}$ ${\displaystyle T(\gamma )}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle E(T(\gamma ))=E(\gamma )-4}$

Teorema A. Entre todos los bucles rectificables , los círculos redondos tienen la menor energía y cualquiera de los de menor energía parametriza un círculo redondo. ${\displaystyle \gamma \colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle E({\text{round circle}})=4}$ ${\displaystyle \gamma }$

Prueba del Teorema A. Sea una transformación de Möbius enviando un punto de al infinito. La energía con igualdad se cumple si y sólo si es una línea recta. Aplicando la propiedad de invariancia de Möbius completamos la prueba. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle E(T(\gamma ))\geq 0}$ ${\displaystyle T(\gamma )}$

Prueba de la propiedad de invariancia de Möbius. Basta considerar cómo una inversión en una esfera transforma la energía. Sea el parámetro de longitud de arco de una curva cerrada rectificable , . Dejar ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle u\in \mathbb {R} /\ell \mathbb {Z} }$

y

Claramente, y . Es un cálculo corto (usando la ley de los cosenos) que los primeros términos se transforman correctamente, es decir, ${\displaystyle E(\gamma )=\lim _{\varepsilon \to 0}E_{\varepsilon }(\gamma )}$ ${\displaystyle E(I\circ \gamma )=\lim _{\varepsilon \to 0}E_{\varepsilon }(I\circ \gamma )}$

${\displaystyle {\frac {\|I'(\gamma (u))\|\cdot \|I'(\gamma (v))\|}{|I(\gamma (u))-I(\gamma (v))|^{2}}}={\frac {1}{|\gamma (u)-\gamma (v)|^{2}}}.}$

Como es la longitud del arco , el término de regularización de ( 1 ) es la integral elemental ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \gamma }$

Sea un parámetro de longitud de arco para . Entonces donde denota el factor de expansión lineal de . Dado que es una función de Lipschitz y es suave, es Lipschitz, por lo tanto, tiene derivada débil . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle I\circ \gamma }$ ${\displaystyle ds(u)/du=\|I'(\gamma (u))\|}$ ${\displaystyle \|I'(\gamma (u))\|=f(u)}$ ${\displaystyle I'}$ ${\displaystyle \gamma (u)}$ ${\displaystyle I'}$ ${\displaystyle f(u)}$ ${\displaystyle f'(u)\in L^{\infty }}$

dónde y ${\displaystyle L={\rm {{Length}(I(\gamma ))}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{+}&=\varepsilon _{+}(u)=D((I\circ \gamma )(u),(I\circ \gamma )(u+\varepsilon ))=s(u+\varepsilon )-s(u)\\&=\int _{u}^{u+\varepsilon }f(w)\,dw=f(u)\varepsilon +\varepsilon ^{2}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u+\varepsilon t)\,dt\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle \varepsilon _{-}=\varepsilon _{-}(u)=D((I\circ \gamma )(u-\varepsilon ),(I\circ \gamma )(u))=f(u)\varepsilon -\varepsilon ^{2}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u-\varepsilon t)\,dt.}$

Como está uniformemente acotado, tenemos ${\displaystyle |f'(w)|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\varepsilon _{+}}}=&{\frac {1}{f(u)\varepsilon }}\left[{1+{\varepsilon \over f(u)}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u+\varepsilon t)\,dt}\right]^{-1}\\=&{\frac {1}{f(u)\varepsilon }}\left[1-{\frac {\varepsilon }{f(u)}}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u+\varepsilon t)\,dt+O(\varepsilon ^{2})\right]\\=&{\frac {1}{f(u)\varepsilon }}-{\frac {1}{f(u)^{2}}}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u+\varepsilon t)\,dt+O(\varepsilon ).\end{aligned}}}$

Similarmente, ${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon _{-}}}={\frac {1}{f(u)\varepsilon }}+{\frac {1}{f(u)^{2}}}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u-\varepsilon t)\,dt+O(\varepsilon ).}$

Luego por ( 4 )

Comparando ( 3 ) y ( 5 ), obtenemos , por tanto, . ${\displaystyle E_{\varepsilon }(\gamma )-E_{\varepsilon }(I\circ \gamma )=O(\varepsilon );}$ ${\displaystyle E(\gamma )=E(I\circ \gamma )}$

Para la segunda afirmación, envíemos un punto de al infinito. En este caso y, por tanto, el término constante 4 en ( 5 ) desaparece. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle L=\infty }$

Conjetura de Freedman-He-Wang

La conjetura de Freedman-He-Wang (1994) afirmó que la energía de Möbius de los enlaces no triviales se minimiza mediante la proyección estereográfica del enlace estándar de Hopf . Esto fue demostrado en 2012 por Ian Agol , Fernando C. Marques y André Neves , utilizando la teoría min-max de Almgren-Pitts . ^[6] Sea , un vínculo de 2 componentes, es decir, un par de curvas cerradas rectificables en tres espacios euclidianos con . La energía cruzada de Möbius del enlace se define como ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}:S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle i=1,2,}$ ${\displaystyle \gamma _{1}(S^{1})\cap \gamma _{2}(S^{1})=\emptyset }$ ${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2})}$

${\displaystyle E(\gamma _{1},\gamma _{2})=\int _{S^{1}\times S^{1}}{\frac {|{\dot {\gamma }}_{1}(s)||{\dot {\gamma }}_{2}(t)|}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|^{2}}}\,ds\,dt.}$

El número de enlace de se define dejando ${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})&=\,{\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2})\\&={\frac {1}{4\pi }}\int _{S^{1}\times S^{1}}{\frac {\mathrm {det} ({\dot {\gamma }}_{1}(s),{\dot {\gamma }}_{2}(t),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t))}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|^{3}}}\,ds\,dt.\end{aligned}}}$

No es difícil comprobarlo . Si dos círculos están muy lejos el uno del otro, la energía cruzada puede hacerse arbitrariamente pequeña. Si el número de enlace es distinto de cero, el enlace se llama no dividido y para el enlace no dividido, . Por eso estamos interesados ​​en la energía mínima de los enlaces no divididos. Tenga en cuenta que la definición de energía se extiende a cualquier enlace de 2 componentes en . La energía de Möbius tiene la notable propiedad de ser invariante bajo transformaciones conformes de . Esta propiedad se explica a continuación. Denotemos un mapa conforme. Entonces, esta condición se denomina propiedad de invariancia conforme de la energía cruzada de Möbius. ${\displaystyle E(\gamma _{1},\gamma _{2})\geq 4\pi |{\rm {link}}(\gamma _{1},\gamma _{2})|}$ ${\displaystyle \mathrm {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})}$ ${\displaystyle E(\gamma _{1},\gamma _{2})\geq 4\pi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow {S^{3}}}$ ${\displaystyle E(\gamma _{1},\gamma _{2})=E(F\circ \gamma _{1},F\circ \gamma _{2}).}$

Teorema principal. Sea , un enlace no dividido de 2 componentes. Entonces . Además, si existe un mapa conforme tal que y (el enlace estándar de Hopf hasta la orientación y la reparametrización). ${\displaystyle \gamma _{i}:S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle i=1,2,}$ ${\displaystyle E(\gamma _{1},\gamma _{2})\geq 2\pi ^{2}}$ ${\displaystyle E(\gamma _{1},\gamma _{2})=2\pi ^{2}}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow {S^{3}}}$ ${\displaystyle F\circ \gamma _{1}(t)=(\cos t,\sin t,0,0)}$ ${\displaystyle F\circ \gamma _{2}(t)=(0,0,\cos t,\sin t)}$

Dadas dos curvas diferenciables que no se cruzan , defina el mapa de Gauss desde el toro a la esfera por ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma (s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}.}$

El mapa de Gauss de un enlace en , denotado por , es el mapa de Lipschitz definido por Denotamos una bola abierta en , centrada en con radio , por . El límite de esta bola se denota por . Una bola abierta intrínseca de , centrada en con radio , se denota por . Tenemos ${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ ${\displaystyle g=G(\gamma _{1},\gamma _{2})}$ ${\displaystyle g:S^{1}\times S^{1}\to S^{3}}$ ${\displaystyle g(s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}.}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B_{r}^{4}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle S_{r}^{3}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \in S^{3}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B_{r}(\mathbf {p} )}$

${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial s}}={{\dot {\gamma }}_{1}-\langle g,{\dot {\gamma }}_{1}\rangle g \over |\gamma _{1}-\gamma _{2}|}\quad {\mbox{and}}\quad {\frac {\partial g}{\partial t}}=-{{\dot {\gamma }}_{2}-\langle g,{\dot {\gamma }}_{2}\rangle g \over |\gamma _{1}-\gamma _{2}|}.}$

De este modo,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {\partial g}{\partial s}}\right|^{2}\left|{\frac {\partial g}{\partial t}}\right|^{2}-\left\langle {\frac {\partial g}{\partial s}},{\frac {\partial g}{\partial t}}\right\rangle ^{2}&\leq \left|{\frac {\partial g}{\partial s}}\right|^{2}\left|{\frac {\partial g}{\partial t}}\right|^{2}\\&={\frac {|{\dot {\gamma }}_{1}|^{2}-\langle g,{\dot {\gamma }}_{1}\rangle ^{2}}{|\gamma _{1}-\gamma _{2}|^{2}}}{\frac {|{\dot {\gamma }}_{2}|^{2}-\langle g,{\dot {\gamma }}_{2}\rangle ^{2}}{|\gamma _{1}-\gamma _{2}|^{2}}}\\&\leq {\frac {|{\dot {\gamma }}_{1}|^{2}|{\dot {\gamma }}_{2}|^{2}}{|\gamma _{1}-\gamma _{2}|^{4}}}.\end{aligned}}}$

De ello se deduce que para casi todos los casos , si la igualdad se mantiene en , entonces ${\displaystyle (s,t)\in S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle |{\rm {Jac\,}}g|(s,t)\leq {\frac {|{\dot {\gamma }}_{1}(s)||{\dot {\gamma }}_{2}(t)|}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|^{2}}}.}$ ${\displaystyle (s,t)}$ ${\displaystyle \langle {\dot {\gamma }}_{1}(s),{\dot {\gamma }}_{2}(t)\rangle =\langle {\dot {\gamma }}_{1}(s),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\rangle =\langle {\dot {\gamma }}_{2}(t),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\rangle =0.}$

${\displaystyle {\mathbf {M} }(C)\leq \int _{S^{1}\times S^{1}}|{\rm {Jac\,}}g|\,ds\,dt\leq E(\gamma _{1},\gamma _{2}).}$

Si el enlace está contenido en un hiperplano afín orientado con un vector normal unitario compatible con la orientación, entonces ${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \in S^{3}}$ ${\displaystyle C={\rm {link}}(\gamma _{1},\gamma _{2})\cdot \partial B_{\pi /2}(-\mathbf {p} ).}$

Referencias

• Adams, Colin (2004). El libro de los nudos: una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821836781.
• Hass, Joel (abril-mayo de 1998). "Algoritmos para reconocer nudos y 3 variedades". Caos, Solitones y Fractales . 9 (4–5): 569–581. arXiv : matemáticas/9712269 . Código Bib : 1998CSF......9..569H. doi :10.1016/S0960-0779(97)00109-4. S2CID  7381505.
• Sossinsky, Alexei (2002). Nudos, matemáticas con un giro . Prensa de la Universidad de Harvard. ISBN 9780674009448.

Notas a pie de página

1. O'Hara, junio (1991). "Energía de un nudo". Topología . 30 (2): 241–247. doi : 10.1016/0040-9383(91)90010-2 . SEÑOR  1098918.
2. Freedman, Michael H .; Él, Zheng-Xu; Wang, Zhenghan (enero de 1994). "Energía de Möbius de nudos y desanudos". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 139 (1): 1–50. doi :10.2307/2946626. JSTOR  2946626. SEÑOR  1259363.
3. Adams 2004; Sossinsky 2002.
4. Hass 1998.
5. Hoste, Jim (diciembre de 2005). "La enumeración y clasificación de nudos y eslabones". En William W. Menasco; Morwen B. Thistlethwaite (eds.). Manual de teoría de nudos (PDF) . Ámsterdam: Elsevier. págs. 209-232. doi :10.1016/B978-044451452-3/50006-X. ISBN 9780444514523.
6. Agol, Ian ; Marqués, Fernando C.; Neves, André (2012). "Teoría min-max y la energía de los enlaces". arXiv : 1205.0825 [matemáticas.GT].