La conjetura de Conley , llamada así en honor al matemático Charles Conley , es una conjetura matemática en el campo de la geometría simpléctica , una rama de la geometría diferencial .
Sea una variedad simpléctica compacta . Un campo vectorial en se denomina campo vectorial hamiltoniano si la 1-forma es exacta (es decir, igual a la diferencial de una función . Un difeomorfismo hamiltoniano es la integración de una familia de campos vectoriales hamiltonianos de 1 parámetro .
En los sistemas dinámicos, nos gustaría entender la distribución de puntos fijos o puntos periódicos. Un punto periódico de un difeomorfismo hamiltoniano (de ) es un punto tal que . Una característica de la dinámica hamiltoniana es que los difeomorfismos hamiltonianos tienden a tener infinitos puntos periódicos. Conley fue el primero en hacer una conjetura de este tipo para el caso de que sea un toro. [2]
La conjetura de Conley es falsa en muchos casos simples. Por ejemplo, una rotación de una esfera redonda en un ángulo igual a un múltiplo irracional de , que es un difeomorfismo hamiltoniano, tiene solo 2 puntos periódicos geométricamente diferentes. [1] Por otra parte, está probada para varios tipos de variedades simplécticas.
La conjetura de Conley fue demostrada por Franks y Handel para superficies con género positivo. [3] El caso del toro de dimensión superior fue demostrado por Hingston. [4] La prueba de Hingston inspiró la prueba de Ginzburg de la conjetura de Conley para variedades asféricas simplécticas. Más tarde, Ginzburg-Gurel y Hein demostraron la conjetura de Conley para variedades cuya primera clase de Chern se anula en clases esféricas. Finalmente, Ginzburg-Gurel demostró la conjetura de Conley para variedades simplécticas negativamente monótonas.