Conjetura de Conley

Conjetura matemática

La conjetura de Conley , llamada así en honor al matemático Charles Conley , es una conjetura matemática en el campo de la geometría simpléctica , una rama de la geometría diferencial .

Fondo

Sea una variedad simpléctica compacta . Un campo vectorial en se denomina campo vectorial hamiltoniano si la 1-forma es exacta (es decir, igual a la diferencial de una función . Un difeomorfismo hamiltoniano es la integración de una familia de campos vectoriales hamiltonianos de 1 parámetro . ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega (V,\cdot )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \phi :M\to M}$ ${\displaystyle V_{t},t\in [0,1]}$

En los sistemas dinámicos, nos gustaría entender la distribución de puntos fijos o puntos periódicos. Un punto periódico de un difeomorfismo hamiltoniano (de ) es un punto tal que . Una característica de la dinámica hamiltoniana es que los difeomorfismos hamiltonianos tienden a tener infinitos puntos periódicos. Conley fue el primero en hacer una conjetura de este tipo para el caso de que sea un toro. ^[2] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \phi ^{k}(x)=x}$ ${\displaystyle M}$

La conjetura de Conley es falsa en muchos casos simples. Por ejemplo, una rotación de una esfera redonda en un ángulo igual a un múltiplo irracional de , que es un difeomorfismo hamiltoniano, tiene solo 2 puntos periódicos geométricamente diferentes. ^[1] Por otra parte, está probada para varios tipos de variedades simplécticas. ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \pi }$

Historia de los estudios

La conjetura de Conley fue demostrada por Franks y Handel para superficies con género positivo. ^[3] El caso del toro de dimensión superior fue demostrado por Hingston. ^[4] La prueba de Hingston inspiró la prueba de Ginzburg de la conjetura de Conley para variedades asféricas simplécticas. Más tarde, Ginzburg-Gurel y Hein demostraron la conjetura de Conley para variedades cuya primera clase de Chern se anula en clases esféricas. Finalmente, Ginzburg-Gurel demostró la conjetura de Conley para variedades simplécticas negativamente monótonas.

Referencias

1. Ginzburg, Viktor L.; Gürel, Başak Z. (2015). "La conjetura de Conley y más allá". Arnold Mathematical Journal . 1 (3): 299–337. arXiv : 1411.7723 . doi : 10.1007/s40598-015-0017-3 . S2CID  256398699.
2. Charles Conley, conferencia en la Universidad de Wisconsin, 6 de abril de 1984. ^[1]
3. Franks, John; Handel, Michael (2003). "Puntos periódicos de difeomorfismos superficiales hamiltonianos". Geometría y topología . 7 (2): 713–756. arXiv : math/0303296 . doi : 10.2140/gt.2003.7.713 . S2CID  2140632.
4. Hingston, Nancy (2009). "Soluciones subarmónicas de ecuaciones hamiltonianas en toros". Anales de Matemáticas . 170 (2): 529–560. doi : 10.4007/annals.2009.170.529 .