La conjetura de Borsuk

El problema de Borsuk en geometría , por razones históricas ^{[nota 1]} incorrectamente llamado conjetura de Borsuk , es una cuestión de geometría discreta . Lleva el nombre de Karol Borsuk .

Problema

En 1932, Karol Borsuk demostró ^{[2] que una}bola tridimensional ordinaria en el espacio euclidiano se puede diseccionar fácilmente en 4 sólidos, cada uno de los cuales tiene un diámetro menor que la bola y, en general, una bola de $n$ dimensiones se puede cubrir con $n + 1$ juegos compactos de diámetros menores que la bola. Al mismo tiempo demostró que $n$ subconjuntos en general no son suficientes. La prueba se basa en el teorema de Borsuk-Ulam . Esto llevó a Borsuk a una pregunta general: ^[2]

Die folgende Frage bleibt offen: Lässt sich jede beschränkte Teilmenge $E$ des Raumes in ( $n + 1$ ) Mengen zerlegen, von denen jede einen kleineren Durchmesser als $E$ hat? $\mathbb {R} ^{n}$
La siguiente pregunta permanece abierta: ¿Se puede dividir cada subconjunto acotado $E$ del espacio en ( $n$ $+ 1$ ) conjuntos, cada uno de los cuales tiene un diámetro menor que $E$ ? $\mathbb {R} ^{n}$
— Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre

La pregunta fue respondida afirmativamente en los siguientes casos:

$n = 2$ , que es el resultado original de Karol Borsuk (1932).
$n = 3$ — mostrado por Julian Perkal (1947),^[3] e independientemente, 8 años después, por HG Eggleston (1955).^[4]Branko Grünbaum y Aladár Heppesencontraron más tarde una prueba sencilla
Para todo $n$ para cuerpos lisos y convexos, mostrado por Hugo Hadwiger (1946). ^[5]^[6]
Para todo $n$ para cuerpos centralmente simétricos , mostrado por AS Riesling (1971). ^[7]
Para todo $n$ para cuerpos de revolución , mostrado por Boris Dekster (1995). ^[8]

El problema fue finalmente resuelto en 1993 por Jeff Kahn y Gil Kalai , quienes demostraron que la respuesta general a la pregunta de Borsuk es no . ^[9] Afirman que su construcción muestra que $n + 1$ piezas no son suficientes para $n = 1325$ y para cada $n > 2014$ . Sin embargo, como señala Bernulf Weißbach, ^[10] la primera parte de esta afirmación es falsa. Pero después de mejorar una conclusión subóptima dentro de la derivación correspondiente, uno puede verificar uno de los conjuntos de puntos construidos como contraejemplo para $n = 1325$ (así como todas las dimensiones superiores hasta 1560). ^[11]

Su resultado fue mejorado en 2003 por Hinrichs y Richter, quienes construyeron conjuntos finitos para $n \geq 298$ , que no pueden dividirse en $n + 11$ partes de diámetro menor. ^[1]

En 2013, Andriy V. Bondarenko demostró que la conjetura de Borsuk es falsa para todo $n \geq 65$ . ^[12] Poco después, Thomas Jenrich derivó un contraejemplo de 64 dimensiones a partir de la construcción de Bondarenko, dando la mejor cota hasta ahora. ^[13]^[14]

Además de encontrar el número mínimo $n$ de dimensiones tales que el número de piezas $α (n) > n +1$ , los matemáticos están interesados en encontrar el comportamiento general de la función $α (n)$ . Kahn y Kalai muestran que en general (es decir, para $n$ suficientemente grande), se necesitan muchas piezas. También citan el límite superior de Oded Schramm , quien demostró que para cada $ε$ , si $n$ es suficientemente grande, . ^[15] Aún se desconoce el orden de magnitud correcto de $α$ $($ $n$ $) .$ ^[16] Sin embargo, se conjetura que existe una constante $c$ $> 1$ tal que $α$ $($ $n$ $) >$ $c$ $n$ para todo $n$ $\geq 1$ . ${\textstyle \alpha (n)\geq (1.2)^{\sqrt {n}}}$ ${\textstyle \alpha (n)\leq \left({\sqrt {3/2}}+\varepsilon \right)^{n}}$

Ver también

La conjetura de Hadwiger sobre cubrir cuerpos convexos con copias más pequeñas de sí mismos
Conjetura de Kahn-Kalai

Nota

^ Como dicen Hinrichs y Richter en la introducción a su trabajo, ^[1] "muchos creyeron que la conjetura de Borsuk era cierta durante algunas décadas" (de ahí que comúnmente se la llame conjetura ), por lo que "fue una sorpresa cuando Kahn y Kalai construyó conjuntos finitos mostrando lo contrario". Vale la pena señalar, sin embargo, que Karol Borsuk ha formulado el problema sólo como una pregunta, sin sugerir que la respuesta esperada sea positiva.

Referencias

^ ab Hinrichs, Aicke; Richter, Christian (28 de agosto de 2003). "Nuevos conjuntos con grandes números de Borsuk". Matemáticas discretas . Elsevier . 270 (1–3): 137–147. doi : 10.1016/S0012-365X(02)00833-6 .
^ ab Borsuk, Karol (1933), "Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre" (PDF) , Fundamenta Mathematicae (en alemán), 20 : 177–190, doi : 10.4064/fm-20-1-177-190
^ Perkal, Julian (1947), "Sur la subdivision des ensembles en Parties de diamètre inférieur", Colloquium Mathematicum (en francés), 2 : 45
^ Eggleston, HG (1955), "Cubriendo un conjunto tridimensional con conjuntos de menor diámetro", Journal of the London Mathematical Society , 30 : 11–24, doi :10.1112/jlms/s1-30.1.11, MR 0067473
^ Hadwiger, Hugo (1945), "Überdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers", Commentarii Mathematici Helvetici (en alemán), 18 (1): 73–75, doi :10.1007/BF02568103, MR 0013901, S2CID 122199549
^ Hadwiger, Hugo (1946), "Mitteilung betreffend meine Note: Überdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers", Commentarii Mathematici Helvetici (en alemán), 19 (1): 72–73, doi :10.1007/BF02565947, MR 0017515, S2CID 121053805
^ Riesling, AS (1971), "Проблема Борсука в трехмерных пространствах постоянной кривизны" [El problema de Borsuk en espacios tridimensionales de curvatura constante] (PDF) , Ukr. Geom. Sbornik (en ruso), Universidad Estatal de Kharkov (ahora Universidad Nacional de Kharkiv ), 11 : 78–83
^ Dekster, Boris (1995), "La conjetura de Borsuk es válida para cuerpos de revolución", Journal of Geometry , 52 (1–2): 64–73, doi :10.1007/BF01406827, MR 1317256, S2CID 121586146
^ Kahn, Jeff ; Kalai, Gil (1993), "Un contraejemplo de la conjetura de Borsuk", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 29 (1): 60–62, arXiv : math/9307229 , doi :10.1090/S0273-0979-1993-00398-7 , SEÑOR 1193538, S2CID 119647518
^ Weißbach, Bernulf (2000), "Conjuntos con número de Borsuk grande" (PDF) , Beiträge zur Algebra und Geometrie (en alemán), 41 (2): 417–423
^ Jenrich, Thomas (2018), Sobre los contraejemplos de la conjetura de Borsuk de Kahn y Kalai , arXiv : 1809.09612v4
^ Bondarenko, Andriy (2014) [2013], "Sobre la conjetura de Borsuk para conjuntos de dos distancias", Geometría discreta y computacional , 51 (3): 509–515, arXiv : 1305.2584 , doi : 10.1007/s00454-014-9579- 4 , SEÑOR 3201240
^ Jenrich, Thomas (2013), Un contraejemplo de dos distancias y 64 dimensiones de la conjetura de Borsuk , arXiv : 1308.0206 , Bibcode :2013arXiv1308.0206J
^ Jenrich, Thomas; Brouwer, Andries E. (2014), "Un contraejemplo de 64 dimensiones a la conjetura de Borsuk", Electronic Journal of Combinatorics , 21 (4): #P4.29, doi : 10.37236/4069 , MR 3292266
^ Schramm, Oded (1988), "Conjuntos iluminados de ancho constante", Mathematika , 35 (2): 180–189, doi :10.1112/S0025579300015175, MR 0986627
^ Alon, Noga (2002), "Matemáticas discretas: métodos y desafíos", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Beijing , 1 : 119–135, arXiv : math/0212390 , Bibcode : 2002math..... 12390A

Otras lecturas

Oleg Pikhurko, Métodos algebraicos en combinatoria , notas del curso.
Andrei M. Raigorodskii, El problema de la partición de Borsuk: el septuagésimo aniversario, Mathematical Intelligencer 26 (2004), no. 3, 4-12.
Raigorodskii, Andreii M. (2008). "Tres conferencias sobre el problema de la partición de Borsuk". En Joven, Nicolás; Choi, Yemon (eds.). Encuestas en matemáticas contemporáneas . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 347. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 202–247. ISBN 978-0-521-70564-6. Zbl 1144.52005.

enlaces externos

Weisstein, Eric W. "La conjetura de Borsuk". MundoMatemático .