Prueba de Dirichlet-Jordan

En matemáticas , la prueba de Dirichlet-Jordan proporciona condiciones suficientes para que una función periódica de valores reales f sea igual a la suma de sus series de Fourier en un punto de continuidad. Además, también se determina el comportamiento de la serie de Fourier en los puntos de discontinuidad (es el punto medio de los valores de la discontinuidad). Es una de las muchas condiciones para la convergencia de las series de Fourier .

La prueba original fue establecida por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1829, ^[1] para funciones monótonas por partes (funciones con un número finito de secciones por período, cada una de las cuales es monótona). Fue extendida a fines del siglo XIX por Camille Jordan a funciones de variación acotada en cada período (cualquier función de variación acotada es la diferencia de dos funciones monótonamente crecientes). ^{[2] [3] [4]}

Prueba de Dirichlet-Jordan para series de Fourier

La prueba de Dirichlet-Jordan establece ^[5] que si una función periódica tiene una variación acotada en un período, entonces la serie de Fourier converge, como , en cada punto del dominio a En particular, si es continua en , entonces la serie de Fourier converge a . Además, si es continua en todas partes, entonces la convergencia es uniforme. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle S_{n}f(x)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{2}}.}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$

Expresados ​​en términos de una función periódica de período 2π, los coeficientes de la serie de Fourier se definen como y las sumas parciales de la serie de Fourier son $${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx,}$$ $${\displaystyle S_{n}f(x)=\sum _{k=-n}^{n}a_{k}e^{ikx}}$$

La afirmación análoga es válida independientemente de cuál sea el período de f o de qué versión de la serie de Fourier se elija.

También hay una versión puntual de la prueba: ^[6] si es una función periódica en , y tiene una variación acotada en un entorno de , entonces la serie de Fourier en converge al límite como se indicó anteriormente. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{2}}.}$$

Prueba de Jordan para integrales de Fourier

Para la transformada de Fourier en la línea real, también existe una versión de la prueba. ^[7] Supongamos que está en y de variación acotada en un entorno del punto . Entonces, si es continua en un intervalo abierto, entonces la integral en el lado izquierdo converge uniformemente en el intervalo y el límite en el lado derecho es . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L^{1}(-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\lim _{M\to \infty }\int _{0}^{M}du\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos u(x-t)\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{2}}.}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$

Esta versión de la prueba (aunque no satisface las demandas modernas de rigor) es históricamente anterior a Dirichlet, y se debe a Joseph Fourier . ^[2]

Condiciones de Dirichlet en el procesamiento de señales

En el procesamiento de señales , ^[8] la prueba se mantiene a menudo en la forma original debido a Dirichlet: una función periódica monótona acotada por partes (que tiene un número finito de intervalos monótonos por período) tiene una serie de Fourier convergente cuyo valor en cada punto es la media aritmética de los límites izquierdo y derecho de la función. La condición de monotonía por partes estipula tener solo un número finito de extremos locales por período, es decir, que la función cambia su variación solo un número finito de veces. Esto puede llamarse una función de "variación finita", en oposición a la variación acotada. ^{[2] [9]} La variación finita implica variación acotada, pero lo inverso no es cierto. (Dirichlet requirió además que la función tuviera solo un número finito de discontinuidades, pero esta restricción es innecesariamente estricta. ^[10] ) Cualquier señal que pueda producirse físicamente en un laboratorio satisface estas condiciones. ^[11] ${\displaystyle f}$

Al igual que en el caso puntual de la prueba de Jordan, la condición de acotación se puede relajar si se supone que la función es absolutamente integrable (es decir, ) durante un período, siempre que satisfaga las otras condiciones de la prueba en una vecindad del punto donde se toma el límite. ^[12] ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle x}$

Véase también

• Prueba de Dini

Referencias

1. Dirichlet (1829), "Sur la convergence des series trigonometriques qui servent à represénter une fonction arbitraire entre des limites donnees", J. Reine Angew. Matemáticas. , 4 : 157-169
2. Jaak Peetre (2000), Sobre el descubrimiento de las series de Fourier y las integrales de Fourier por parte de Fourier
3. C. Jordan, Cours d'analyse de l'Ecole Polytechnique, t.2, cálculo integral , Gauthier-Villars, París, 1894
4. Georges A. Lion (1986), "Una prueba simple de la prueba de convergencia de Dirichlet-Jordan", The American Mathematical Monthly , 93 (4)
5. Antoni Zygmund (1952), Series trigonométricas , Cambridge University Press, pág. 57
6. RE Edwards (1967), Series de Fourier: una introducción moderna , Springer, pág. 156.
7. EC Titchmarsh (1948), Introducción a la teoría de las integrales de Fourier , Oxford Clarendon Press, pág. 13.
8. Alan V. Oppenheim; Alan S. Willsky; Syed Hamish Nawab (1997). Señales y sistemas. Prentice Hall. pág. 198. ISBN 9780136511755.
9. Vladimir Dobrushkin, Tutorial de Mathematica para el segundo curso. Parte V: Convergencia de las series de Fourier:"Una función que satisface las condiciones de Dirichlet también se denomina monótona por partes".
10. Cornelius Lanczos (2016), Discurso sobre las series de Fourier , SIAM, p. 46.
11. BP Lathi (2000), Procesamiento de señales y sistemas lineales , Oxford
12. Cornelius Lanczos (2016), Discurso sobre las series de Fourier , SIAM, p. 48.

Enlaces externos

• "Condiciones de Dirichlet". PlanetMath .