Condiciones de Fritz John

Las condiciones de Fritz John (abr. condiciones FJ ), en matemáticas , son una condición necesaria para que una solución en programación no lineal sea óptima . ^[1] Se utilizan como lema en la prueba de las condiciones de Karush–Kuhn–Tucker , pero son relevantes por sí mismas.

Consideremos el siguiente problema de optimización :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{minimize }}&f(x)\,\\{\text{subject to: }}&g_{i}(x)\leq 0,\ i\in \left\{1,\dots ,m\right\}\\&h_{j}(x)=0,\ j\in \left\{m+1,\dots ,n\right\}\end{aligned}}}$

donde ƒ es la función a minimizar, las restricciones de desigualdad y las restricciones de igualdad, y donde, respectivamente, , y son los conjuntos de índices de las restricciones inactivas, activas y de igualdad y es una solución óptima de , entonces existe un vector distinto de cero tal que: ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle h_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda =[\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}]}$

${\displaystyle {\begin{cases}\lambda _{0}\nabla f(x^{*})+\sum \limits _{i\in {\mathcal {A}}}\lambda _{i}\nabla g_{i}(x^{*})+\sum \limits _{i\in {\mathcal {E}}}\lambda _{i}\nabla h_{i}(x^{*})=0\\[10pt]\lambda _{i}\geq 0,\ i\in {\mathcal {A}}\cup \{0\}\\[10pt]\exists i\in \left(\{0,1,\ldots ,n\}\backslash {\mathcal {I}}\right)\left(\lambda _{i}\neq 0\right)\end{cases}}}$

${\displaystyle \lambda _{0}>0}$ si y son linealmente independientes o , de forma más general, cuando se cumple una calificación de restricción . ${\displaystyle \nabla g_{i}(i\in {\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \nabla h_{i}(i\in {\mathcal {E}})}$

Estas condiciones, que reciben su nombre de Fritz John , son equivalentes a las condiciones de Karush–Kuhn–Tucker en el caso . Cuando , la condición es equivalente a la violación de la calificación de restricción de Mangasarian–Fromovitz (MFCQ). En otras palabras, la condición de Fritz John es equivalente a la condición de optimalidad KKT o no-MFCQ. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \lambda _{0}>0}$ ${\displaystyle \lambda _{0}=0}$

Referencias

1. Takayama, Akira (1985). Economía matemática . Nueva York: Cambridge University Press. pp. 90-112. ISBN. 0-521-31498-4.

Lectura adicional

• Rau, Nicholas (1981). "Multiplicadores de Lagrange". Matrices y programación matemática . Londres: Macmillan. pp. 156–174. ISBN. 0-333-27768-6.