Condición de Hawkins-Simon

Resultado en economía matemática sobre la existencia de un vector de salida de equilibrio no negativo

La condición de Hawkins-Simon se refiere a un resultado en economía matemática , atribuido a David Hawkins y Herbert A. Simon , ^[1] que garantiza la existencia de un vector de salida no negativo que resuelve la relación de equilibrio en el modelo de insumo-producto donde la demanda es igual a la oferta . Más precisamente, establece una condición bajo la cual el sistema de insumo-producto ${\displaystyle [\mathbf {I} -\mathbf {A} ]}$

${\displaystyle [\mathbf {I} -\mathbf {A} ]\cdot \mathbf {x} =\mathbf {d} }$

tiene una solución para cualquier . Aquí está la matriz identidad y se llama matriz de entrada-salida o matriz de Leontief en honor a Wassily Leontief , quien la estimó empíricamente en la década de 1940. ^[2] Juntas, describen un sistema en el que ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {d} \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}+d_{i}=x_{i}\quad i=1,2,\ldots ,n}$

donde es la cantidad del i -ésimo bien utilizado para producir una unidad del j -ésimo bien, es la cantidad del j -ésimo bien producido, y es la cantidad de demanda final del bien i . Reordenado y escrito en notación vectorial, esto da la primera ecuación. ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle d_{i}}$

Defina , donde es una matriz con . ^[3] Entonces el teorema de Hawkins-Simon establece que las siguientes dos condiciones son equivalentes ${\displaystyle [\mathbf {I} -\mathbf {A} ]=\mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\left[b_{ij}\right]}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle b_{ij}\leq 0,i\neq j}$

(i) Existe un tal que . ${\displaystyle \mathbf {x} \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathbf {x} >0}$

(ii) Todos los menores principales sucesivos de son positivos, es decir ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle b_{11}>0,{\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{vmatrix}}>0,\ldots ,{\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\dots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\dots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\dots &b_{nn}\end{vmatrix}}>0}$

Para una demostración, véase Morishima (1964), ^[4] Nikaido (1968), ^[3] o Murata (1977). ^[5] La condición (ii) se conoce como condición de Hawkins-Simon . Este teorema fue descubierto independientemente por David Kotelyanskiĭ, ^{[6] y} Felix Gantmacher lo denomina lema de Kotelyanskiĭ . ^[7]

Véase también

• Matriz diagonalmente dominante
• Teorema de Perron-Frobenius
• El criterio de Sylvester

Referencias

1. Hawkins, David; Simon, Herbert A. (1949). "Algunas condiciones de estabilidad macroeconómica". Econometrica . 17 (3/4): 245–248. JSTOR  1905526.
2. Leontief, Wassily (1986). Economía de insumo-producto (2.ª ed.). Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-503525-9.
3. Nikaido, Hukukane (1968). Estructuras convexas y teoría económica. Academic Press. págs. 90–92.
4. Morishima, Michio (1964). Equilibrio, estabilidad y crecimiento: un análisis multisectorial. Londres: Oxford University Press. pp. 15–17.
5. Murata, Yasuo (1977). Matemáticas para la estabilidad y optimización de sistemas económicos. Nueva York: Academic Press. pp. 52–53.
6. Kotelyanskiĭ, DM (1952). "О некоторых свойствах матриц с положительными элементами" [Sobre algunas propiedades de matrices con elementos positivos] (PDF) . Estera. SB. NS 31 (3): 497–506.
7. Gantmacher, Felix (1959). La teoría de matrices. Vol. 2. Nueva York: Chelsea. págs. 71–73.

Lectura adicional

• McKenzie, Lionel (1960). "Matrices con diagonales dominantes y teoría económica". En Arrow, Kenneth J.; Karlin , Samuel ; Suppes, Patrick (eds.). Métodos matemáticos en las ciencias sociales . Stanford University Press. págs. 47–62. OCLC  25792438.
• Takayama, Akira (1985). "Teoremas de Frobenius, matrices diagonales dominantes y aplicaciones". Economía matemática (segunda edición). Nueva York: Cambridge University Press. págs. 359–409.