Complejo cúbico

En matemáticas , un complejo cúbico (también llamado conjunto cúbico y complejo cartesiano ^[1] ) es un conjunto compuesto de puntos , segmentos de línea , cuadrados , cubos y sus contrapartes n -dimensionales . Se utilizan de manera análoga a los complejos simpliciales y complejos CW en el cálculo de la homología de espacios topológicos .

Todos los gráficos son ( homeomorfos a) complejos cúbicos unidimensionales.

Definiciones

Un intervalo elemental es un subconjunto de la forma ${\displaystyle I\subsetneq \mathbf {R} }$

${\displaystyle I=[l,l+1]\quad {\text{or}}\quad I=[l,l]}$

para algunos . Un cubo elemental es el producto finito de intervalos elementales, es decir ${\displaystyle l\in \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{d}\subsetneq \mathbf {R} ^{d}}$

donde son intervalos elementales. De manera equivalente, un cubo elemental es cualquier traducción de un cubo unitario inserto en el espacio euclidiano (para algunos con ). ^[2] Un conjunto es un complejo cúbico (o conjunto cúbico ) si se puede escribir como una unión de cubos elementales (o posiblemente, es homeomorfo a dicho conjunto). ^[3] ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots ,I_{d}}$ ${\displaystyle [0,1]^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}$ ${\displaystyle n,d\in \mathbf {N} \cup \{0\}}$ ${\displaystyle n\leq d}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbf {R} ^{d}}$

Terminología relacionada

Los intervalos elementales de longitud 0 (que contienen un único punto) se denominan degenerados , mientras que los de longitud 1 son no degenerados . La dimensión de un cubo es el número de intervalos no degenerados en , denotado como . La dimensión de un complejo cúbico es la dimensión más grande de cualquier cubo en . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \dim Q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si y son cubos elementales y , entonces es una cara de . Si es una cara de y , entonces es una cara propia de . Si es una cara de y , entonces es una faceta o cara primaria de . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q\subseteq P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q\neq P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \dim Q=\dim P-1}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Topología algebraica

En topología algebraica, los complejos cúbicos suelen ser útiles para cálculos concretos. En particular, existe una definición de homología para complejos cúbicos que coincide con la homología singular , pero es computable .

Véase también

• Portal de matemáticas

• Complejo simplicial
• Homología simplicial
• Complejo celular abstracto

Referencias

1. Kovalevsky, Vladimir. "Introducción a la topología digital: notas de clase". Archivado desde el original el 23 de febrero de 2020. Consultado el 30 de noviembre de 2021 .
2. Werman, Michael; Wright, Matthew L. (1 de julio de 2016). "Volúmenes intrínsecos de complejos cúbicos aleatorios". Geometría discreta y computacional . 56 (1): 93–113. arXiv : 1402.5367 . doi : 10.1007/s00454-016-9789-z . ISSN  0179-5376.
3. Kaczynski, Tomasz; Mischaikow, Konstantin; Mrozek, Marian (2004). Homología computacional . Nueva York: Springer. ISBN 9780387215976.OCLC 55897585  .