Complejo Toda-Smith

herramienta computacional

En matemáticas, los complejos Toda-Smith son espectros que se caracterizan por tener una homología BP particularmente simple y son objetos útiles en la teoría de la homotopía estable .

Los complejos de Toda-Smith proporcionan ejemplos de automapas periódicos. Estos automapas se explotaron originalmente para construir infinitas familias de elementos en los grupos de esferas de homotopía. Su existencia señaló el camino hacia los teoremas de nilpotencia y periodicidad. ^[1]

Contexto matemático

La historia comienza con el mapa de grados (como un círculo en el plano complejo ): ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S^{1}}$

${\displaystyle S^{1}\to S^{1}\,}$

${\displaystyle z\mapsto z^{p}\,}$

El mapa de grados está bien definido para en general, donde . Si aplicamos el funtor de suspensión infinita a este mapa, y tomamos la cofibra del mapa resultante: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S^{k}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }S^{1}\to \Sigma ^{\infty }S^{1}=:\mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}}$

${\displaystyle S{\xrightarrow {p}}S\to S/p}$

Encontramos que tiene la notable propiedad de provenir de un espacio de Moore (es decir, un espacio de (co)homología de diseñador: y es trivial para todos ). ${\displaystyle S/p}$ ${\displaystyle H^{n}(X)\simeq Z/p}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}^{*}(X)}$ ${\displaystyle *\neq n}$

También es de destacar que los mapas periódicos, , y , provienen de mapas de grados entre los complejos Toda-Smith, , y respectivamente. ${\displaystyle \alpha _{t}}$ ${\displaystyle \beta _{t}}$ ${\displaystyle \gamma _{t}}$ ${\displaystyle V(0)_{k}}$ ${\displaystyle V(1)_{k}}$ ${\displaystyle V_{2}(k)}$

Definicion formal

El complejo Toda-Smith, donde , es un espectro finito que satisface la propiedad de que su homología BP , es isomorfa a . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V(n)}$ ${\displaystyle n\in -1,0,1,2,3,\ldots }$ ${\displaystyle BP_{*}(V(n)):=[\mathbb {S} ^{0},BP\wedge V(n)]}$ ${\displaystyle BP_{*}/(p,\ldots ,v_{n})}$

Es decir, los complejos de Toda-Smith se caracterizan completamente por sus propiedades locales y se definen como cualquier objeto que satisfaga una de las siguientes ecuaciones: ${\displaystyle BP}$ ${\displaystyle V(n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}BP_{*}(V(-1))&\simeq BP_{*}\\[6pt]BP_{*}(V(0))&\simeq BP_{*}/p\\[6pt]BP_{*}(V(1))&\simeq BP_{*}/(p,v_{1})\\[2pt]&{}\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$

Puede ayudar al lector recordar que , = . ${\displaystyle BP_{*}=\mathbb {Z} _{p}[v_{1},v_{2},...]}$ ${\displaystyle \deg v_{i}}$ ${\displaystyle 2(p^{i}-1)}$

Ejemplos de complejos Toda-Smith

• el espectro de la esfera , que es . ${\displaystyle BP_{*}(S^{0})\simeq BP_{*}}$ ${\displaystyle V(-1)}$
• el espectro mod p Moore, que es ${\displaystyle BP_{*}(S/p)\simeq BP_{*}/p}$ ${\displaystyle V(0)}$

Referencias

1. James, IM (18 de julio de 1995). Manual de topología algebraica. Elsevier. ISBN 9780080532981.