Ecuación de Ginzburg-Landau

La ecuación de Ginzburg-Landau , llamada así por Vitaly Ginzburg y Lev Landau , describe la evolución no lineal de pequeñas perturbaciones cerca de una bifurcación de longitud de onda finita desde un estado estable a un estado inestable de un sistema. Al comienzo de la bifurcación de longitud de onda finita, el sistema se vuelve inestable para un número de onda crítico que no es cero. En la vecindad de esta bifurcación, la evolución de las perturbaciones se caracteriza por el modo de Fourier particular para con amplitud que varía lentamente (más precisamente la parte real de ). La ecuación de Ginzburg-Landau es la ecuación que gobierna para . Los modos inestables pueden ser no oscilatorios (estacionarios) u oscilatorios. ^{[1] [2]} ${\displaystyle k_{c}}$ ${\displaystyle k_{c}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Para la bifurcación no oscilatoria, satisface la ecuación real de Ginzburg-Landau ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}=\nabla ^{2}A+A-A|A|^{2}}$

que fue derivada por primera vez por Alan C. Newell y John A. Whitehead ^[3] y por Lee Segel ^[4] en 1969. Para la bifurcación oscilatoria, satisface la compleja ecuación de Ginzburg-Landau ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}=(1+i\alpha )\nabla ^{2}A+A-(1+i\beta )A|A|^{2}}$

que fue derivada por primera vez por Keith Stewartson y John Trevor Stuart en 1971. ^[5] Aquí y son constantes reales. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Cuando el problema es homogéneo, es decir, cuando es independiente de las coordenadas espaciales, la ecuación de Ginzburg-Landau se reduce a la ecuación de Stuart-Landau . La ecuación de Swift-Hohenberg da como resultado la ecuación de Ginzburg-Landau. ${\displaystyle A}$

Sustituyendo , donde es la amplitud y es la fase, se obtienen las siguientes ecuaciones ${\displaystyle A(\mathbf {x} ,t)=Re^{i\Theta }}$ ${\displaystyle R=|A|}$ ${\displaystyle \Theta =\mathrm {arg} (A)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial R}{\partial t}}&=[\nabla ^{2}R-R(\nabla \Theta )^{2}]-\alpha (2\nabla \Theta \cdot \nabla R+R\nabla ^{2}\Theta )+(1-R^{2})R,\\R{\frac {\partial \Theta }{\partial t}}&=\alpha [\nabla ^{2}R-R(\nabla \Theta )^{2}]+(2\nabla \Theta \cdot \nabla R+R\nabla ^{2}\Theta )-\beta R^{3}.\end{aligned}}}$

Algunas soluciones de la ecuación real de Ginzburg-Landau

Tipo de onda plana estable

Si sustituimos en la ecuación real sin el término derivado del tiempo, obtenemos ${\displaystyle A=f(k)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}$

${\displaystyle A(\mathbf {x} )={\sqrt {1-k^{2}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} },\quad |k|<1.}$

Se sabe que esta solución se vuelve inestable debido a la inestabilidad de Eckhaus para los números de onda. ${\displaystyle k^{2}>1/3.}$

Solución estable con condición de contorno absorbente

Una vez más, busquemos soluciones estables, pero con una condición de contorno absorbente en alguna ubicación. En un dominio unidimensional semiinfinito , la solución está dada por ${\displaystyle A=0}$ ${\displaystyle 0\leq x<\infty }$

${\displaystyle A(x)=e^{ia}\tanh {\frac {x}{\sqrt {2}}},}$

donde es una constante real arbitraria. Se pueden construir numéricamente soluciones similares en un dominio finito. ${\displaystyle a}$

Algunas soluciones de la compleja ecuación de Ginzburg-Landau

Onda viajera

La solución de onda viajera viene dada por

${\displaystyle A(\mathbf {x} ,t)={\sqrt {1-k^{2}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t},\quad \omega =\beta +(\alpha -\beta )k^{2},\quad |k|<1.}$

La velocidad de grupo de la onda está dada por La solución anterior se vuelve inestable debido a la inestabilidad de Benjamin-Feir para los números de onda. ${\displaystyle d\omega /dk=2(\alpha -\beta )k.}$ ${\displaystyle k^{2}>(1+\alpha \beta )/(2\beta ^{2}+\alpha \beta +3).}$

Pulso de Hocking-Stewartson

El pulso de Hocking-Stewartson se refiere a una solución unidimensional casi constante de la compleja ecuación de Ginzburg-Landau, obtenida por Leslie M. Hocking y Keith Stewartson en 1972. ^[6] La solución viene dada por

${\displaystyle A(x,t)=\lambda Le^{i\nu t}(\mathrm {sech} \lambda x)^{1+iM}}$

donde las cuatro constantes reales en la solución anterior satisfacen

${\displaystyle \lambda ^{2}(M^{2}+2\alpha -1)=1,\quad \lambda ^{2}(\alpha -\alpha M^{2}+2M)=\nu ,}$

${\displaystyle 2-M^{2}-3\alpha M=-L^{2},\quad 2\alpha +3M-\alpha M^{2}=-\beta L^{2}.}$

Soluciones de estructura coherente

Las soluciones de estructura coherente se obtienen suponiendo que . Esto conduce a ${\displaystyle A=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t}B({\boldsymbol {\xi }},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}=\mathbf {x} +\mathbf {u} t}$

${\displaystyle {\frac {\partial B}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla B=(1+i\alpha )\nabla ^{2}B+\lambda B-(1+i\beta )B|B|^{2}}$

donde y ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {u} +(1+i\alpha )\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \lambda =1+i\omega -(1+i\alpha )k^{2}.}$

Véase también

• Ecuación de Davey-Stewartson
• Ecuación de Stuart-Landau
• Ecuación de Swift-Hohenberg
• Ecuación de Gross-Pitaevski

Referencias

1. Cross, MC y Hohenberg, PC (1993). Formación de patrones fuera del equilibrio. Reseñas de física moderna, 65(3), 851.
2. Cross, M., y Greenside, H. (2009). Formación de patrones y dinámica en sistemas fuera de equilibrio. Cambridge University Press.
3. Newell, AC y Whitehead, JA (1969). Ancho de banda finito, convección de amplitud finita. Journal of Fluid Mechanics, 38(2), 279-303.
4. Segel, LA (1969). Las paredes laterales distantes provocan una modulación de amplitud lenta de la convección celular. Journal of Fluid Mechanics, 38(1), 203-224.
5. Stewartson, K., y Stuart, JT (1971). Una teoría de inestabilidad no lineal para un sistema de ondas en flujo plano de Poiseuille. Journal of Fluid Mechanics, 48(3), 529-545.
6. Hocking, LM y Stewartson, K. (1972). Sobre la respuesta no lineal de un flujo paralelo plano marginalmente inestable a una perturbación bidimensional. Actas de la Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences, 326(1566), 289-313.