Curva compleja

En matemáticas , el complejo de curvas es un complejo simplicial C ( S ) asociado a una superficie de tipo finito S , que codifica la combinatoria de curvas simples cerradas sobre  S . El complejo de curvas resultó ser una herramienta fundamental en el estudio de la geometría del espacio de Teichmüller , de los grupos de clases de aplicación y de los grupos kleinianos . Fue introducido por W. J. Harvey en 1978.

Complejos de curvas

Definición

Sea una superficie orientada conexa de tipo finito. Más específicamente, sea una superficie orientada conexa de género con componentes de contorno y perforaciones. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=S_{g,b,n}}$ ${\displaystyle g\geq 0}$ ${\displaystyle b\geq 0}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

El complejo de curvas es el complejo simplicial definido de la siguiente manera: ^[1] ${\displaystyle C(S)}$

• Los vértices son las clases de homotopía libres de curvas cerradas simples esenciales (ni homotópicamente triviales ni periféricas ) en ; ${\displaystyle S}$
• Si representan vértices distintos de , abarcan un símplex si y solo si pueden ser homotopados para ser disjuntos por pares. ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$ ${\displaystyle C(S)}$

Ejemplos

Para superficies de pequeña complejidad (esencialmente el toro , el toro perforado y la esfera de cuatro agujeros), con la definición anterior, el complejo de curvas tiene infinitos componentes conectados. Se puede dar una definición alternativa y más útil uniendo vértices si las curvas correspondientes tienen un número mínimo de intersecciones. Con esta definición alternativa, el complejo resultante es isomorfo al grafo de Farey .

Geometría del complejo de curvas

Propiedades básicas

Si es una superficie compacta de género con componentes de contorno cuya dimensión es igual a . En lo que sigue, supondremos que . El complejo de curvas nunca es localmente finito (es decir, cada vértice tiene infinitos vecinos). Un resultado de Harer ^[2] afirma que es de hecho homotópicamente equivalente a una suma de cuña de esferas. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle C(S)}$ ${\displaystyle \xi (S)=3g-3+b}$ ${\displaystyle \xi (S)\geq 2}$ ${\displaystyle C(S)}$

Números de intersección y distancia endo(S)

La distancia combinatoria en el 1-esqueleto de está relacionada con el número de intersecciones entre curvas cerradas simples en una superficie, que es el número más pequeño de intersecciones de dos curvas en las clases de isotopía. Por ejemplo ^[3] ${\displaystyle C(S)}$

${\displaystyle d_{S}(\alpha ,\beta )\leq 2\log _{2}(i(\alpha ,\beta ))+2}$

para dos curvas cerradas simples no disjuntas . Se puede comparar en la otra dirección, pero los resultados son mucho más sutiles (por ejemplo, no hay un límite inferior uniforme ni siquiera para una superficie dada) y más difíciles de demostrar. ^[4] ${\displaystyle \alpha ,\beta }$

Hiperbolicidad

Masur y Minsky ^[5] demostraron que el complejo de curvas es un espacio hiperbólico de Gromov . Trabajos posteriores de varios autores proporcionaron pruebas alternativas de este hecho y mejor información sobre la hiperbolicidad. ^{[4] [6]}

Relación con el grupo de clases de mapeo y el espacio de Teichmüller

Acción del grupo de clases de mapeo

El grupo de clases de aplicación actúa sobre el complejo de la forma natural: actúa sobre los vértices de y esto se extiende a una acción sobre el complejo completo. Esta acción permite demostrar muchas propiedades interesantes de los grupos de clases de aplicación. ^[7] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C(S)}$ ${\displaystyle \phi \cdot \alpha =\phi _{*}\alpha }$

Si bien el grupo de clases de mapeo en sí no es un grupo hiperbólico , el hecho de que sea hiperbólico aún tiene implicaciones para su estructura y geometría. ^{[8] [9]} ${\displaystyle C(S)}$

Comparación con el espacio de Teichmüller

Existe una función natural del espacio de Teichmüller en el complejo de curvas, que lleva una marcada estructura hiperbólica al conjunto de curvas cerradas que alcanzan la longitud más pequeña posible (la sístole ). Esto permite leer ciertas propiedades geométricas de estas últimas, en particular, explica el hecho empírico de que, si bien el espacio de Teichmüller en sí no es hiperbólico, conserva ciertas características de hiperbolicidad.

Aplicaciones a la topología tridimensional

Las divisiones de Heegaard

Un símplex en determina un "relleno" de a un cuerpo de manija. La elección de dos símplex en determina, por tanto, una división de Heegaard de una variedad triple, ^[10] con los datos adicionales de un diagrama de Heegaard (un sistema maximalista de curvas cerradas simples disjuntas que delimitan discos para cada uno de los dos cuerpos de manija). Algunas propiedades de las divisiones de Heegaard se pueden leer de forma muy eficiente a partir de las posiciones relativas de los símplex: ${\displaystyle C(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C(S)}$

• la división es reducible si y sólo si tiene un diagrama representado por símplices que tienen un vértice común;
• La división es débilmente reducible si y sólo si tiene un diagrama representado por símplices que están unidos por una arista.

En general, la distancia mínima entre los símplices que representan el diagrama para la división puede brindar información sobre la topología y la geometría (en el sentido de la conjetura de geometrización de la variedad) y viceversa. ^[10] Un principio rector es que la distancia mínima de una división de Heegaard es una medida de la complejidad de la variedad. ^[11]

Grupos kleinianos

Como caso especial de la filosofía del párrafo anterior, la geometría del complejo de curvas es una herramienta importante para vincular propiedades combinatorias y geométricas de 3-variedades hiperbólicas, y por lo tanto es una herramienta útil en el estudio de los grupos kleinianos. ^[12] Por ejemplo, se ha utilizado en la prueba de la conjetura de laminación final . ^{[13] [14]}

Variedades aleatorias

Un modelo posible para variedades 3-al azar es tomar desdoblamientos aleatorios de Heegaard. ^[15] La prueba de que este modelo es hiperbólico casi con seguridad (en cierto sentido) utiliza la geometría del complejo de curvas. ^[16]

Notas

1. Farb y Margalit, cap. 4.1, pág. 92
2. Harer, John L. (1986-02-01). "La dimensión cohomológica virtual del grupo de clases de aplicación de una superficie orientable". Inventiones Mathematicae . 84 (1): 157–176. Bibcode :1986InMat..84..157H. doi :10.1007/BF01388737. ISSN  0020-9910. S2CID  121871169.
3. Schleimer 2006, Lema 1.21.
4. Bowditch 2006.
5. Masur y Minsky 1999.
6. Aougab, Tarik (2013). "Hiperbolicidad uniforme de los gráficos de curvas". Geom. Topol . 17 (5): 2855–2875. arXiv : 1212.3160 . doi :10.2140/gt.2013.17.2855. MR  3190300. S2CID  55100877.
7. Ivanov 1992, Capítulo 7.
8. Manganas, Johanna (2010). "Crecimiento exponencial uniforme y uniforme de subgrupos del grupo de clases de mapeo". Geom. Funct. Anal . 19 (5): 1468–1480. arXiv : 0805.0133 . doi :10.1007/s00039-009-0038-y. MR  2585580. S2CID  15662174.
9. Dahmani, François; Guirardel, Vincent; Osin, Denis (2017). "Subgrupos incrustados hiperbólicamente y familias rotatorias en grupos que actúan en espacios hiperbólicos". Memorias de la American Mathematical Society . 245 (1156). arXiv : 1111.7048 . doi :10.1090/memo/1156. S2CID  119137328.
10. Hempel 2001.
11. Abrams, Aaron; Schleimer, Saul (2005). "Distancias de las divisiones de Heegaard". Geom. Topol . 9 : 95–119. arXiv : math/0306071 . doi :10.2140/gt.2005.9.95. MR  2115669. S2CID  8546698.
12. Bowditch, Brian H. (2005). "Variedades 3-hiperbólicas y la geometría del complejo de curvas". Congreso Europeo de Matemáticas . Eur. Math. Soc. págs. 103–115.
13. Minsky, Yair (2010). "La clasificación de grupos de superficies kleinianas, I: modelos y límites". Anales de Matemáticas . 171 (1): 1–107. arXiv : math/0302208 . doi :10.4007/annals.2010.171.1. ISSN  0003-486X. S2CID  115634421.
14. Brock, Jeffrey; Canary, Richard; Minsky, Yair (2012). "La clasificación de los grupos de superficies kleinianos, II: La conjetura de la laminación final". Anales de Matemáticas . 176 (3): 1–149. arXiv : math/0412006 . doi :10.4007/annals.2012.176.1.1. ISSN  0003-486X. S2CID  119719908.
15. Dunfield, Nathan M.; Thurston, William P. (2006). "Coberturas finitas de 3-variedades aleatorias". Invent. Math . 166 (3): 457–521. arXiv : math/0502567 . Bibcode :2006InMat.166..457D. doi :10.1007/s00222-006-0001-6. MR  2257389. S2CID  14446676.
16. Maher, José (2010). "Divisiones aleatorias de Heegaard". Revista de topología . 3 (4): 997–1025. arXiv : 0809.4881 . doi :10.1112/jtopol/jtq031. S2CID  14179122.

Referencias

• Harvey, WJ (1981). "Estructura límite del grupo modular". Superficies de Riemann y temas relacionados. Actas de la Conferencia de Stony Brook de 1978. 1981.
• Bowditch, Brian H. (2006). "Números de intersección y la hiperbolicidad del complejo de curvas". J. Reine Angew. Matemáticas . 598 : 105–129. MR  2270568.
• Hempel, John (2001). "Variedades de 3 elementos vistas desde el complejo de curvas". Topología . 40 (3): 631–657. arXiv : math/9712220 . doi :10.1016/s0040-9383(00)00033-1. MR  1838999. S2CID  16532184.
• Ivanov, Nikolai (1992). Subgrupos de grupos modulares de Teichmüller . American Math. Soc.
• Masur, Howard A.; Minsky, Yair N. (1999). "Geometría del complejo de curvas. I. Hiperbolicidad". Invent. Math . 138 (1): 103–149. arXiv : math/9804098 . Código Bibliográfico :1999InMat.138..103M. doi :10.1007/s002220050343. MR  1714338. S2CID  16199015.
• Schleimer, Saul (2006). "Notas sobre el complejo de curvas" (PDF) .
• Benson Farb y Dan Margalit, Introducción a la cartografía de grupos de clases . Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press , Princeton, NJ, 2012. ISBN 978-0-691-14794-9