Medida de compacidad

Medida del grado en que una forma geométrica es compacta

La medida de compacidad es una cantidad numérica que representa el grado en que una forma es compacta. El círculo y la esfera son las formas planas y sólidas más compactas, respectivamente.

Propiedades

Se utilizan diversas medidas de compacidad, pero todas ellas tienen en común lo siguiente:

• Son aplicables a todas las formas geométricas.
• Son independientes de la escala y la orientación.
• Son números adimensionales .
• No dependen excesivamente de uno o dos puntos extremos de la forma.
• Están de acuerdo con las nociones intuitivas de lo que hace que una forma sea compacta.

Ejemplos

Una medida de compacidad común es el cociente isoperimétrico , la relación entre el área de la forma y el área de un círculo (la forma más compacta) que tiene el mismo perímetro. En el plano , esto es equivalente a la prueba de Polsby-Popper . Alternativamente, el área de la forma podría compararse con la de su círculo delimitador , ^{[1] [2]} su envoltura convexa , ^{[1] [3]} o su caja delimitadora mínima . ^[3]

De manera similar, se puede hacer una comparación entre el perímetro de la forma y el de su envoltura convexa, ^[3] su círculo delimitador, ^[1] o un círculo que tenga la misma área. ^[1]

Otras pruebas implican determinar cuánta área se superpone con un círculo de la misma área ^[2] o un reflejo de la forma misma. ^[1]

También se pueden definir medidas de compacidad para formas tridimensionales, normalmente como funciones del volumen y del área de superficie . Un ejemplo de una medida de compacidad es la esfericidad . Otra medida en uso es , ^[4] que es proporcional a . ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle ({\text{surface area}})^{1.5}/({\text{volume}})}$ ${\displaystyle \Psi ^{-3/2}}$

Para las formas rasterizadas , es decir , formas compuestas de píxeles o celdas, algunas pruebas implican distinguir entre bordes (o caras) exteriores e interiores. ^{[2] [5]}

Medidas más sofisticadas de compacidad incluyen el cálculo del momento de inercia de la forma ^{[2] [3]} o la curvatura límite . ^[3]

Aplicaciones

Un uso común de las medidas de compacidad es en la redistribución de distritos . El objetivo es maximizar la compacidad de los distritos electorales , sujetos a otras restricciones, y así evitar la manipulación de los distritos electorales . ^[6] Otro uso es en la zonificación , para regular la manera en que la tierra puede ser subdividida en lotes para construcción . ^[7]

Percepción humana

Hay evidencia de que la compacidad es una de las dimensiones básicas de las características de forma extraídas por el sistema visual humano. ^[8]

Véase también

• Grado de compacidad de Reock
• Relación entre área de superficie y volumen
• ¿Qué longitud tiene la costa de Gran Bretaña? Autosimilitud estadística y dimensión fraccionaria

Referencias

1. "Medición de la compacidad" . Consultado el 22 de enero de 2020 .
2. Li, Wenwen; Goodchild, Michael F; Church, Richard L. "Una medida eficiente de compacidad para formas 2D y su aplicación en problemas de regionalización" . Consultado el 1 de febrero de 2022 .
3. Wirth, Michael A. "Análisis y medición de formas" (PDF) . Consultado el 22 de enero de 2020 .
4. Patente estadounidense 6.169.817
5. Bribiesca, E. "Medición de la compacidad de formas 2-D mediante el perímetro de contacto" . Consultado el 22 de enero de 2020 .
6. Rick Gillman "Geometría y manipulación de distritos electorales", Math Horizons, vol. 10, n.° 1 (septiembre de 2002) 10-13.
7. MacGillis, Alec (15 de noviembre de 2006). "Propuesta de norma para controlar los lotes de viviendas irregulares". The Washington Post . p. B5 . Consultado el 15 de noviembre de 2006 .
8. Huang, Liqiang (2020). "Espacio de características de forma preatentivas". Journal of Vision . 20 (4): 10. doi : 10.1167/jov.20.4.10 . PMC 7405702 . PMID  32315405.