Matrices de conmutación

Concepto matemático en álgebra

En álgebra lineal , se dice que dos matrices y conmutan si , o, equivalentemente, si su conmutador es cero. Se dice que un conjunto de matrices conmuta si conmutan de dos en dos, lo que significa que cada par de matrices en el conjunto conmuta. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB=BA}$ ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$

Caracterizaciones y propiedades

• Las matrices conmutativas preservan los espacios propios de cada una de ellas . ^[1] En consecuencia, las matrices conmutativas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado son simultáneamente triangularizables ; es decir, hay bases sobre las cuales ambas son triangulares superiores . En otras palabras, si conmutan, existe una matriz de similitud tal que es triangular superior para todo . Lo inverso no es necesariamente cierto, como lo muestra el siguiente contraejemplo: ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{-1}A_{i}P}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,k\}}$

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\0&3\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}1&5\\0&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}}.}$

Sin embargo, si el cuadrado del conmutador de dos matrices es cero, es decir, , entonces lo inverso es cierto. ^[2] ${\displaystyle [A,B]^{2}=0}$

• Dos matrices diagonalizables y conmutan ( ) si son simultáneamente diagonalizables (es decir, existe una matriz invertible tal que ambas y son diagonales ). ^{[3] : p. 64} La inversa también es cierta; es decir, si dos matrices diagonalizables conmutan, son simultáneamente diagonalizables. ^[4] Pero si tomas dos matrices cualesquiera que conmuten (y no asumes que son dos matrices diagonalizables) ya son simultáneamente diagonalizables si una de las matrices no tiene múltiples valores propios. ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB=BA}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{-1}AP}$ ${\displaystyle P^{-1}BP}$
• Si y conmutan, tienen un vector propio común. Si tienen valores propios distintos, y y conmutan, entonces los vectores propios de son los vectores propios de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• Si una de las matrices tiene la propiedad de que su polinomio mínimo coincide con su polinomio característico (es decir, tiene el grado máximo), lo que sucede en particular siempre que el polinomio característico tenga sólo raíces simples , entonces la otra matriz puede escribirse como polinomio en la primera.
• Como consecuencia directa de la triangulación simultánea, los valores propios de dos matrices complejas conmutativas A , B con sus multiplicidades algebraicas (los multiconjuntos de raíces de sus polinomios característicos) pueden emparejarse de tal manera que el multiconjunto de valores propios de cualquier polinomio en las dos matrices es el multiconjunto de los valores . Este teorema se debe a Frobenius . ^[6] ${\displaystyle \alpha _{i}\leftrightarrow \beta _{i}}$ ${\displaystyle P(A,B)}$ ${\displaystyle P(\alpha _{i},\beta _{i})}$
• Dos matrices hermíticas conmutan si sus espacios propios coinciden. En particular, dos matrices hermíticas sin múltiples valores propios conmutan si comparten el mismo conjunto de vectores propios. Esto se deduce considerando las descomposiciones de valores propios de ambas matrices. Sean y dos matrices hermíticas. y tienen espacios propios comunes cuando se pueden escribir como y . Entonces se deduce que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A=U\Lambda _{1}U^{\dagger }}$ ${\displaystyle B=U\Lambda _{2}U^{\dagger }}$

  ${\displaystyle AB=U\Lambda _{1}U^{\dagger }U\Lambda _{2}U^{\dagger }=U\Lambda _{1}\Lambda _{2}U^{\dagger }=U\Lambda _{2}\Lambda _{1}U^{\dagger }=U\Lambda _{2}U^{\dagger }U\Lambda _{1}U^{\dagger }=BA.}$

• La propiedad de que dos matrices conmuten no es transitiva : una matriz puede conmutar con y , y aún así y no conmutar entre sí. Como ejemplo, la matriz identidad conmuta con todas las matrices, que entre ellas no conmutan todas. Si el conjunto de matrices considerado se restringe a matrices hermíticas sin múltiples valores propios, entonces la conmutatividad es transitiva, como consecuencia de la caracterización en términos de vectores propios. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$
• El teorema de Lie , que muestra que cualquier representación de un álgebra de Lie resoluble es simultáneamente triangularizable superiormente, puede verse como una generalización.
• Una matriz n  ×  n conmuta con cualquier otra matriz n  ×  n si y solo si es una matriz escalar, es decir, una matriz de la forma , donde es la matriz identidad n  ×  n y es un escalar. En otras palabras, el centro del grupo de matrices n  ×  n bajo multiplicación es el subgrupo de matrices escalares. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda }$
• Fijemos un campo finito , sea el número de pares ordenados de matrices conmutativas sobre , W. Feit y NJ Fine ^[7] demostraron la ecuación ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ $${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {P(n)}{(q^{n}-1)(q^{n}-q)\cdots (q^{n}-q^{n-1})}}z^{n}=\prod _{i=1}^{\infty }\prod _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{1-j}z^{i}}}.}$$

Ejemplos

• La matriz identidad conmuta con todas las matrices.
• Los bloques de Jordan conmutan con matrices triangulares superiores que tienen el mismo valor a lo largo de las bandas.
• Si el producto de dos matrices simétricas es simétrico, entonces deben conmutar. Eso también significa que cada matriz diagonal conmuta con todas las demás matrices diagonales. ^{[8] [9]}
• Las matrices circulantes conmutan. Forman un anillo conmutativo ya que la suma de dos matrices circulantes es circulante.

Historia

El concepto de matrices conmutativas fue introducido por Cayley en sus memorias sobre la teoría de matrices, que también proporcionaron la primera axiomatización de matrices. Los primeros resultados significativos sobre matrices conmutativas fueron demostrados por Frobenius en 1878. ^[10]

Referencias

1. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). Análisis de matrices . Cambridge University Press. pág. 70. ISBN 9780521839402.
2. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). Análisis de matrices . Cambridge University Press. pág. 127. ISBN 9780521839402.
3. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Análisis de matrices, segunda edición . Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.
4. Sin pérdida de generalidad , se puede suponer que la primera matriz es diagonal. En este caso, la conmutatividad implica que si una entrada de la segunda matriz es distinta de cero, entonces Después de una permutación de filas y columnas, las dos matrices se convierten simultáneamente en diagonales de bloques . En cada bloque, la primera matriz es el producto de una matriz identidad, y la segunda es una matriz diagonalizable. Por lo tanto, diagonalizar los bloques de la segunda matriz cambia la primera matriz y permite una diagonalización simultánea. ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ ${\displaystyle b_{i,j}}$ ${\displaystyle a_{i,i}=a_{j,j}.}$
5. "Conjunto de tareas de pruebas 10 MATH 217 — INVIERNO 2011" (PDF) . Consultado el 10 de julio de 2022 .
6. Frobenius, G. (1877). "Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 84 : 1–63.
7. Feit, Walter; Fine, NJ (1960-03-01). "Pares de matrices conmutativas sobre un cuerpo finito". Duke Mathematical Journal . 27 (1). doi :10.1215/s0012-7094-60-02709-5. ISSN  0012-7094.
8. "¿Las matrices diagonales siempre conmutan?". Stack Exchange. 15 de marzo de 2016. Consultado el 4 de agosto de 2018 .
9. "WebNotes de Álgebra Lineal parte 2". math.vanderbilt.edu . Consultado el 10 de julio de 2022 .
10. Drazin, M. (1951), "Algunas generalizaciones de la conmutatividad de matrices", Actas de la London Mathematical Society , 3, 1 (1): 222–231, doi :10.1112/plms/s3-1.1.222