Logaritmo común

Función matemática

Una gráfica del logaritmo común de números del 0,1 al 100

En matemáticas , el logaritmo común es el logaritmo con base 10. ^[1] También se lo conoce como logaritmo decádico y como logaritmo decimal , llamado así por su base, o logaritmo briggsiano , en honor a Henry Briggs , un matemático inglés que fue pionero en su uso, así como logaritmo estándar . Históricamente, se lo conocía como logarithmus decimalis ^[2] o logarithmus decadis . ^[3] Se indica mediante log( x ) , ^[4] log ₁₀ ( x ) , ^[5] o, a veces, Log( x ) con L mayúscula ; ^{[nota 1]} en las calculadoras , se imprime como "log", pero los matemáticos generalmente se refieren al logaritmo natural (logaritmo con base e ≈ 2,71828) en lugar del logaritmo común cuando escriben "log". Para mitigar esta ambigüedad, la especificación ISO 80000 recomienda que log ₁₀ ( x ) se escriba lg( x ) y que log _e ( x ) se escriba ln( x ) .

Página de una tabla de logaritmos comunes. Esta página muestra los logaritmos de los números del 1000 al 1509 con cinco decimales. La tabla completa cubre valores hasta 9999.

Antes de principios de los años 1970, no se disponía de calculadoras electrónicas portátiles y las calculadoras mecánicas capaces de multiplicar eran voluminosas, caras y no estaban ampliamente disponibles. En su lugar, se utilizaban tablas de logaritmos de base 10 en ciencia, ingeniería y navegación, cuando los cálculos requerían una mayor precisión de la que se podía lograr con una regla de cálculo . Al convertir la multiplicación y la división en sumas y restas, el uso de logaritmos evitaba las laboriosas y propensas a errores multiplicaciones y divisiones con papel y lápiz. ^[1] Debido a que los logaritmos eran tan útiles, se incluían tablas de logaritmos de base 10 en los apéndices de muchos libros de texto. Los manuales de matemáticas y navegación también incluían tablas de logaritmos de funciones trigonométricas . ^[6] Para conocer la historia de dichas tablas, véase tabla de logaritmos .

Mantisa y característica

Una propiedad importante de los logaritmos de base 10, que los hace tan útiles en los cálculos, es que el logaritmo de números mayores que 1 que difieren en un factor de una potencia de 10 tienen todos la misma parte fraccionaria. La parte fraccionaria se conoce como mantisa . ^{[nota 2]} Por lo tanto, las tablas de logaritmos solo necesitan mostrar la parte fraccionaria. Las tablas de logaritmos comunes generalmente enumeraban la mantisa, con cuatro o cinco decimales o más, de cada número en un rango, por ejemplo, de 1000 a 9999.

La parte entera, llamada característica , se puede calcular simplemente contando cuántos lugares debe moverse el punto decimal para que quede justo a la derecha del primer dígito significativo. Por ejemplo, el logaritmo de 120 se obtiene con el siguiente cálculo:

${\displaystyle \log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.}$

El último número (0,07918), la parte fraccionaria o mantisa del logaritmo común de 120, se puede encontrar en la tabla que se muestra. La ubicación del punto decimal en 120 nos indica que la parte entera del logaritmo común de 120, la característica, es 2.

Logaritmos negativos

Los números positivos menores que 1 tienen logaritmos negativos. Por ejemplo,

${\displaystyle \log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.}$

Para evitar la necesidad de utilizar tablas independientes para convertir los logaritmos positivos y negativos a sus números originales, se puede expresar un logaritmo negativo como una característica entera negativa más una mantisa positiva. Para facilitar esto, se utiliza una notación especial, llamada notación de barras :

${\displaystyle \log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}+0.07918=-1.92082.}$

La barra sobre la característica indica que es negativa, mientras que la mantisa permanece positiva. Al leer en voz alta un número en notación de barras, el símbolo se lee como "barra n ", por lo que se lee como "barra 2 punto 07918...". Una convención alternativa es expresar el logaritmo módulo 10, en cuyo caso ${\displaystyle {\bar {n}}}$ ${\displaystyle {\bar {2}}.07918}$

${\displaystyle \log _{10}(0.012)\approx 8.07918{\bmod {1}}0,}$

con el valor real del resultado de un cálculo determinado por el conocimiento del rango razonable del resultado. ^{[nota 3]}

El siguiente ejemplo utiliza la notación de barra para calcular 0,012 × 0,85 = 0,0102:

${\displaystyle {\begin{array}{rll}{\text{As found above,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Since}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}}$

* Este paso crea la mantisa entre 0 y 1, de modo que se pueda buscar su antilogaritmo ( ^mantisa 10 ).

La siguiente tabla muestra cómo se puede utilizar la misma mantisa para un rango de números que difieren en potencias de diez:

Nótese que la mantisa es común a todos los 5  ×  10 ⁱ . Esto es válido para cualquier número real  positivo porque ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.}$

Como i es una constante, la mantisa proviene de , que es constante para un valor dado . Esto permite que una tabla de logaritmos incluya solo una entrada para cada mantisa. En el ejemplo de 5  ×  10 ⁱ , 0,698 970 (004 336 018 ...) aparecerá en la lista una vez indexado por 5 (o 0,5, o 500, etc.). ${\displaystyle \log _{10}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Los números se colocan en escalas de regla de cálculo a distancias proporcionales a las diferencias entre sus logaritmos. Sumando mecánicamente la distancia de 1 a 2 en la escala inferior a la distancia de 1 a 3 en la escala superior, se puede determinar rápidamente que 2  ×  3 = 6 .

Historia

Los logaritmos comunes también se denominan a veces "logaritmos briggsianos" en honor a Henry Briggs , un matemático británico del siglo XVII. En 1616 y 1617, Briggs visitó a John Napier en Edimburgo , el inventor de lo que ahora se denominan logaritmos naturales (base e ), para sugerir un cambio en los logaritmos de Napier. Durante estas conferencias, se acordó la alteración propuesta por Briggs; y después de su regreso de su segunda visita, publicó la primera quiliada de sus logaritmos.

Como los logaritmos de base 10 eran más útiles para los cálculos, los ingenieros generalmente escribían simplemente " log( x ) " cuando querían decir log ₁₀ ( x ) . Los matemáticos, por otro lado, escribían " log( x ) " cuando querían decir log _e ( x ) para el logaritmo natural. Hoy en día, se encuentran ambas notaciones. Como las calculadoras electrónicas portátiles están diseñadas por ingenieros en lugar de matemáticos, se volvió habitual que siguieran la notación de los ingenieros. Por lo tanto, la notación, según la cual se escribe " ln( x ) " cuando se refiere al logaritmo natural, puede haberse popularizado aún más por la misma invención que hizo que el uso de "logaritmos comunes" fuera mucho menos común: las calculadoras electrónicas.

Valor numérico

Las teclas de logaritmo ( log para base 10 y ln para base e ) en una calculadora científica típica. La llegada de las calculadoras portátiles eliminó en gran medida el uso de logaritmos comunes como ayuda para los cálculos.

El valor numérico del logaritmo en base 10 se puede calcular con las siguientes identidades: ^[5]

${\displaystyle \log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad }$ o o ${\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad }$ ${\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{B}(x)}{\log _{B}(10)}}\quad }$

utilizando logaritmos de cualquier base disponible ${\displaystyle \,B~.}$

ya que existen procedimientos para determinar el valor numérico del logaritmo en base e (véase Logaritmo natural § Cálculo eficiente ) y del logaritmo en base 2 (véase Algoritmos para calcular logaritmos binarios ).

Derivado

La derivada de un logaritmo con base b es tal que ^[7]

${\displaystyle {d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}}$, entonces . ${\displaystyle {d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}}$

Véase también

• Logaritmo binario
• Cologaritmo
• Decibel
• Escala logarítmica
• Logaritmo neperiano
• Significando (también llamado comúnmente mantisa)

Notas

1. La notación Log es ambigua, ya que también puede significar la función multivalor logarítmica natural compleja .
2. Este uso de la palabra mantisa proviene de un significado más antiguo, no numérico: una adición o suplemento menor, por ejemplo, a un texto. Hoy en día, la palabra mantisa se usa generalmente para describir la parte fraccionaria de un número de punto flotante en las computadoras, aunque el término recomendado ^{[¿ por quién? ] es} significand .
3. Por ejemplo, Bessel, FW (1825). "Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen". Astronomische Nachrichten . 331 (8): 852–861. arXiv : 0908.1823 . Código Bib : 1825AN......4..241B. doi :10.1002/asna.18260041601. S2CID  118630614.da (inicio de la sección 8) , . Del contexto, se entiende que , el radio menor del elipsoide terrestre en toesa (un número grande), mientras que , la excentricidad del elipsoide terrestre (un número pequeño). ${\displaystyle \log b=6.51335464}$ ${\displaystyle \log e=8.9054355}$ ${\displaystyle b=10^{6.51335464}}$ ${\displaystyle e=10^{8.9054355-10}}$

Referencias

1. Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (1909). "Capítulo IV. Logaritmos [23] Logaritmos comunes". Trigonometría. Vol. Parte I: Trigonometría plana. Nueva York: Henry Holt and Company . pág. 31.
2. Euler, Leonhard ; Speiser, Andreas ; du Pasquier, Luis Gustave; Brandt, Heinrich ; Trost, Ernst (1945) [1748]. Speiser, Andreas (ed.). Introductio in Analysin Infinitorum (Parte 2) . 1 (en latín). vol. 9. BG Teubner . {{cite book}}: |work=ignorado ( ayuda )
3. Scherffer, P. Carolo (1772). Institutionum Analyticarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (en latín). vol. 2. Joannis Thomæ Nob. De Trattnern. pag. 198.
4. "Introducción a los logaritmos". www.mathsisfun.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
5. Weisstein, Eric W. "Logaritmo común". mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
6. Hedrick, Earle Raymond (1913). Tablas logarítmicas y trigonométricas. Nueva York, EE. UU.: Macmillan .
7. "Derivadas de funciones logarítmicas". Math24 . 2021-04-14. Archivado desde el original el 2020-10-01.

Bibliografía

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Möser, Michael (2009). Acústica de ingeniería: una introducción al control del ruido. Springer. pág. 448. ISBN 978-3-540-92722-8.
• Poliyanin, Andrei Dmitrievich; Manzhirov, Alexander Vladimirovich (2007) [2006-11-27]. Manual de matemáticas para ingenieros y científicos. CRC Press . p. 9. ISBN 978-1-58488-502-3.