En el bridge , un juego de cartas , una combinación de palos es un subconjunto específico de las cartas de un palo que se encuentran en las manos del declarante y del muerto respectivamente al comienzo del juego. Si bien los rangos de las cartas restantes que tienen los defensores se pueden deducir con precisión, se desconoce su ubicación. [1] El juego de combinación de palos óptimo permite todas las posibles posiciones de las cartas que tienen los defensores.
El término también se utiliza para la secuencia de jugadas [2] de las manos del declarante y del muerto, condicionadas a jugadas intermedias de los oponentes; en otras palabras, el plan o estrategia de juego del declarante dadas sus tenencias y su objetivo para el número de bazas a realizar. [3]
Además de comprender las posibles combinaciones iniciales y las probabilidades de ubicación de las cartas del oponente en un palo, el declarante puede informarse más a partir de la subasta, la salida inicial y el juego de cartas anterior para establecer la ubicación probable de las cartas restantes.
El diagrama de la izquierda muestra una combinación de corazones con seis cartas en el muerto (Norte, arriba) y cuatro en el declarante (Sur, abajo). El declarante puede deducir que las dos manos opuestas tienen solo tres corazones (el rey, el diez y el ocho), pero se desconoce su ubicación exacta. La tabla de la derecha muestra las ocho posibles posiciones de esas tres cartas; la combinación de palos y su diagrama incluyen implícitamente las ocho posibilidades.
A medida que disminuye el número de cartas de un palo en particular que tienen el declarante y el muerto, el número que tiene el bando contrario debe aumentar, ya que siempre hay trece cartas de cada palo. Expresado matemáticamente, el número de combinaciones posibles de n cartas que tienen los oponentes es 2 n . En el ejemplo anterior, se tienen tres cartas de 2 3 u 8 maneras diferentes (2x2x2 = 8).
En este ejemplo, los oponentes tienen cuatro cartas en 2x4 o 16 variantes (2x2x2x2 = 16).
En este ejemplo, los oponentes tienen cinco cartas de 2 x 5 o 32 maneras diferentes (2x2x2x2x2 = 32).
Por lo general, en la exposición estándar del bridge, no se identifican explícitamente todas las cartas pequeñas y la representación de la mano se hace más genérica reemplazando ciertas cartas por una "x", donde la "x" representa el 2 o cualquier otra carta lo suficientemente baja como para ser equivalente al 2. La "x" representa una carta debajo de cualquier otra que se especifique y que no tenga capacidad o potencial para hacer bazas. La siguiente progresión de alternativas permite que las cartas de nivel cada vez más alto se consideren insignificantes para el análisis.
La estrategia óptima en el juego de una mano en la mesa de bridge varía junto con la variación en el objetivo del declarante; la información, la habilidad y el objetivo de los oponentes; el contrato y la vulnerabilidad; y la disposición de las cartas en cuatro manos, que incluye cuatro combinaciones de palos y su disposición. En la exposición del bridge es habitual suponer dos asociaciones con objetivos opuestos que incorporan las condiciones de la competencia (variante de puntuación y variante de torneo) y el contrato y la vulnerabilidad. En términos de la teoría de juegos , entonces, el juego de cualquier mano es un juego de suma cero.
Al menos desde Crowhurst (1964), el análisis de combinaciones de palos rutinariamente hace más simplificaciones en la misma línea. La más fundamental es que el juego de cualquier combinación de palos es un juego de suma cero . En efecto, los dos bandos están de acuerdo en la relación del palo con la mano entera, de modo que sus objetivos opuestos se reducen a objetivos opuestos en el palo. (La naturaleza de doble ficticio de la defensa, que se muestra más adelante, hace que este sea un objetivo importante inexplorado.*) La conclusión es que sus objetivos opuestos se pueden expresar en términos de la cantidad de bazas ganadas y perdidas en el palo destacado.
Es habitual ir dos pasos más allá con Crowhurst. En primer lugar, una combinación de palos es un juego de suma cero entre dos personas . Eso significa que los dos defensores juegan como uno solo; tienen la misma mente. Conocen las cartas del otro y, por lo tanto, al conocer al muerto, también conocen la mano del declarante. (A ese particular se le llama correctamente defensa del doble muerto ). Un plan gobierna las jugadas de ambos. Si eligen aleatorizar sus jugadas (ver "Estrategia mixta" a continuación), pueden aleatorizarlas juntos.
En segundo lugar, el juego de una combinación de palos equivale a una secuencia de bazas en la que la salida siempre se realiza desde el muerto o desde la mano cerrada , a opción del declarante. En efecto, los defensores siempre cambian a un palo secundario cuando ganan una baza, y el declarante detiene esos palos secundarios al menos antes de descartar del palo principal. El declarante puede cambiar de mano utilizando palos secundarios; es decir, la comunicación o la gestión de la entrada no suponen ningún problema.
Otra convención es poner la mayor cantidad de cartas en el muerto, Norte, si la combinación de palos incluye dos manos desiguales. Dada la configuración simplificada, eso no hace ninguna diferencia, salvo por consideraciones psicológicas ocasionales, dice Crowhurst. En la mesa, contra dos defensores que ven la mano abierta y no ven la mano cerrada, la diferencia puede ser muy importante.
Crowhurst generalmente cubre dos funciones objetivas alternativas: el número (máximo) esperado de bazas ganadas, o expectativa de bazas, y la probabilidad (máxima) de ganar una cantidad específica de bazas, como tres para una combinación con cuatro cartas en cada mano.
Ese conjunto de dos objetivos está limitado en algunos aspectos que son importantes en la práctica, por lo que puede tener un gran impacto en la aplicación de cualquier hallazgo a "tratos reales". Resulta que los hallazgos no son simplemente aplicables a contratos de triunfo o a contratos sin triunfo; ni tampoco son aplicables en general a un palo de triunfo o a un palo secundario en un contrato de triunfo. El quid de la cuestión es que el número de bazas ganadoras en un palo es demasiado simple. El número de bazas perdedoras no es redundante y la secuencia de bazas ganadoras y perdedoras puede ser significativa.
En primer lugar, consideremos la combinación de palos dada en un contrato de corazones. Si el palo se divide 0=5, o ♥ – a la izquierda y ♥ K10876 a la derecha, entonces la defensa tiene un ganador de quinta ronda en corazones, que no se puede evitar. (La quinta baza de un palo puede no jugarse nunca, pero la quinta carta en triunfos es ganadora si se juega en una baza de palos secundarios). En una combinación de palos de cuatro cartas como ésta, "tres ganadores" generalmente significa "un perdedor", pero eso no es redundante, y la distinción entre tres con un perdedor y tres con dos perdedores puede ser vital para los objetivos de las dos partes en un trato real.
En segundo lugar, considere la combinación de palos dada en un contrato de espadas. Tres ganadores en las primeras tres bazas de corazones y un perdedor en la cuarta baza (por ejemplo, T876 frente a un rey singleton y el muerto sale con la reina) dejan abierta la posibilidad de no perder ninguna baza de corazones, si la cuarta puede descartarse o ser superada. Tres ganadores en la primera, tercera y cuarta bazas de corazones (por ejemplo, 87 frente a KT6 y el declarante sale con el as) implican un perdedor en la segunda baza que no se puede evitar (o solo raramente). La cantidad de bazas ganadoras para el bando declarante, de cuatro cartas del palo, solo coincide aproximadamente con los objetivos de los dos bandos en una mano real.
En el contexto simplificado, el juego óptimo del declarante en una combinación de palos se puede derivar utilizando una teoría de juegos bien establecida , a saber, la teoría de los juegos de suma cero entre dos personas. Crowhurst generalmente cubre dos funciones objetivo alternativas para cada combinación de palos en el catálogo. Una es el número (máximo) esperado de bazas ganadas, o expectativa de bazas. Otra es la probabilidad (máxima) de ganar un número específico destacado de bazas, como tres para una combinación con cuatro cartas en cada mano.
Esto significa que se especifica una función objetivo que se debe maximizar. Para los fines del juego de palos, esta función objetivo (u objetivo) se considera generalmente como la probabilidad de hacer un número mínimo específico de bazas.
Dado este objetivo, se comprueban todas las líneas de juego frente a todas las defensas posibles para cada distribución de las cartas del oponente, y se determina la función objetivo para cada uno de estos casos. A cada línea de juego combinada con cada distribución de las cartas del oponente se le puede asignar entonces un valor mínimo de la función objetivo resultante de la mejor defensa para esa disposición. La línea de juego óptima se selecciona como la línea que maximiza el valor mínimo de la función objetivo promediado sobre todas las disposiciones posibles. Como resultado, la solución óptima para la combinación de palos tiene en cuenta todas las líneas de defensa (incluidas todas las formas de falsificación de cartas ) y protege contra las mejores líneas de defensa, pero no es necesariamente óptima en términos de explotación de los errores cometidos por la defensa.
Se requieren dos trucos de la siguiente combinación:
El enfoque óptimo es jugar bajo hacia la reina, una finesse contra el rey. Si la reina pierde contra el rey, jugar bajo hacia el diez, una finesse de segunda ronda contra la jota. [4] Esto gana dos bazas el 74% de las veces. La aproximación es fácil de ver considerando las cuatro posibles posiciones del rey y la jota en las manos defensoras. Tienes éxito en tres de los cuatro casos: tanto el rey como la jota en Este (24% de probabilidad), solo el rey en Este (26% de probabilidad) y ninguno en Este (24% de probabilidad). En el cuarto caso, rey en Oeste y jota en Este (26%), tienes éxito si la jota es singleton (0,5% de probabilidad).
Supongamos que se requieren dos trucos de la siguiente combinación:
El enfoque óptimo es cobrar el as y luego jugar con una carta baja hacia la jota. [5] [6] Esto solo falla contra ♥ KQxxx(xx) en el Este; es decir, el rey, la reina y al menos tres de los cinco corazones pequeños. En otras palabras, tiene éxito si Oeste tiene honor o al menos tres cartas de lugar. En general, la probabilidad de éxito es del 90,0 % [ cita requerida ] .
Si se requieren tres bazas, Lawrence recomienda una línea de juego diferente. [5] [6] Cobrar el as y luego esquivar la segunda baza; es decir, jugar bajo con ambas manos independientemente de la defensa. Esto tiene éxito cuando el palo se distribuye 3-3 entre los oponentes y también cuando se divide 4-2 con uno o ambos honores doubleton. (Contra ambos honores doubleton, gana cuatro bazas. Contra un honor doubleton pierde la segunda baza ante ese honor y la tercera baza ante el otro, ganando las otras tres bazas). En general, la probabilidad de éxito es del 64,6%.
El tratamiento óptimo de una combinación de palos determinada garantiza una cierta probabilidad mínima de éxito contra cualquier posible defensa. Sin embargo, dicho tratamiento, si bien protege contra oponentes que explotarían cualquier error en el juego del declarante, no explota por sí mismo los errores defensivos. En algunos casos prácticos en los que es probable que se cometan errores defensivos, podría ser aconsejable desviarse del juego óptimo del palo para beneficiarse de los errores defensivos asumidos.
En este ejemplo, de la quinta edición de la Enciclopedia Oficial del Bridge , el declarante necesita dos bazas de un palo en el que tiene tres cartas pequeñas y el muerto tiene KQ 10 : [7]
El enfoque óptimo en teoría de juegos es avanzar hacia el rey en el muerto y, posteriormente (ya sea que el rey haya ganado o no), avanzar hacia la reina.
Un defensor experto que se sienta en Este con el as, pero sin jota, probablemente se agachará en la primera ronda para proteger la jota de su compañero. Por lo tanto, si este defensor experto juega el as en la primera baza, lo más probable es que tenga el as singleton, o el as y la jota, porque con cualquier otra combinación se habría agachado. En este último caso, la única posibilidad del declarante de obtener dos bazas de este palo es jugar en Este para un doubleton de as-jota. Como la posibilidad de un doubleton de as-jota (0,73%) es mayor que la posibilidad de un singleton de as (0,48%), si el rey pierde contra el as en la primera baza, la jugada óptima del declarante es jugar para que caiga la jota en la segunda baza y poner la reina.
En la práctica, sin embargo, si en la primera ronda el rey pierde contra el as de Este, el declarante debe decidir si Este mantendría el as en la primera ronda cuando no tiene la jota. Si se considera que es probable que Este juegue el as en la primera ronda independientemente de que tenga la jota, el declarante debería hacer la finesse con el diez en la segunda ronda. [7] Nótese que un experto sentado en Este que deliberadamente hace la defensa explotadora de atrapar al rey con el as mientras tiene una o más cartas pequeñas del palo (pero no la jota), cuenta con el hecho de que el declarante juzgaría que no haría esa jugada subóptima.
Aunque las jugadas óptimas para las combinaciones de palos se derivaban tradicionalmente a mano, las capacidades computacionales de las computadoras modernas han permitido un mayor detalle y precisión en el análisis y presentación de líneas óptimas de juego. En referencia al Diccionario de combinaciones de palos de Roudinesco , los bibliógrafos Bourke y Sugden [8] señalan que "ha sido reemplazado por programas informáticos, como SuitPlay " [9] , un programa desarrollado por Jeroen Warmerdam de los Países Bajos. [10]
Incluso sin factores psicológicos, el análisis de combinaciones complejas de palos no es sencillo. El análisis humano puede hacer que se pasen por alto ciertas posibilidades. Se publicaron enfoques supuestamente óptimos para las combinaciones de palos en la Enciclopedia Oficial del Bridge , quinta edición, pero el análisis automatizado demostró posteriormente que algunos eran incorrectos [11] y se actualizaron en ediciones posteriores. [12]
Se requieren dos bazas de esta combinación de palos. La línea de juego que, según la quinta edición de The Official Encyclopedia of Bridge, garantiza un 51 % de éxito [13] es: "Salir con una carta pequeña al nueve. Si pierde ante Oeste, hacer la finesse con el diez a continuación. Si aparece un honor de Este en la primera ronda, salir con una carta pequeña al nueve de nuevo; si Este muestra o juega otro honor, hacer la finesse con el diez a continuación; de lo contrario, jugar al as".
Sin embargo, mediante búsquedas exhaustivas por ordenador diseñadas por él mismo, Warmerdam encontró una jugada que, según él, conduce a un éxito de al menos el 58% contra cualquier defensa posible: [11] "Salir con una carta pequeña al nueve. Si pierde contra Oeste, cobrar el as. Si aparece un honor de Este en la primera ronda, jugar con el nueve y si pierde con la finesse con el diez". La sexta edición de The Official Encyclopedia of Bridge recomienda la misma línea de juego que Warmerdam, pero afirma que la probabilidad de éxito es del 51%; [14] la séptima edición corrigió el porcentaje al 58%. [15]
Aunque no hay mucho debate sobre cuál es el juego óptimo en teoría de un palo dada la disposición del palo y la función objetivo que se debe maximizar, la elección de lo que constituye la función objetivo correcta para una situación práctica dada puede ser objeto de debate. Generalmente, la especificación de la función objetivo depende del tipo de puntuación. En partidos de equipo con puntuación IMP , el objetivo de maximizar la puntuación imp generalmente corresponde al objetivo de maximizar la probabilidad de obtener un número específico de bazas del palo en consideración (ver los ejemplos anteriores). En la puntuación de matchpoint , uno generalmente asume que el objetivo de maximizar su puntuación de matchpoint corresponde al objetivo de maximizar el número esperado de bazas del palo en consideración. Esta suposición no siempre es correcta. El objetivo del declarante en la puntuación de matchpoint es más bien asegurar que su línea de juego supere los enfoques alternativos en términos de sumar más bazas en tantos diseños como sea posible. Al aplicar este 'objetivo de puntos de partido' a la línea de juego de un solo palo, se originan líneas de juego óptimas que pueden diferir de la línea de juego no explotadora que optimiza el número esperado de bazas del palo. [9] Un ejemplo ilustra este punto:
¿Cuál es la mejor jugada de matchpoint? La línea de juego que maximiza el número esperado de bazas de este palo es la finesse jugando al diez. Si el diez pierde contra la jota, se juega hacia el rey. Si el diez pierde contra el as, se juega hacia la reina. Este enfoque da como resultado tres bazas en el 28,7 % de los casos, dos bazas en el 54,4 % de los casos y una baza en el 16,9 % de los casos. Por lo tanto, el valor esperado para el número de bazas es de 2,12 bazas.
Sin embargo, esta jugada no es óptima en el sentido de optimizar el objetivo de matchpoint descrito anteriormente. Considere la línea de juego que comienza con una finesse profunda jugando al ocho. Si el ocho pierde contra el nueve, a continuación juegue al rey. Si el ocho pierde contra la jota, a continuación deje que corra el diez. Si el ocho pierde contra el as, deje que corra la reina y luego haga una finesse sobre la jota. Esta jugada da como resultado 2,09 bazas esperadas, un resultado ligeramente inferior a las 2,12 bazas anteriores obtenidas jugando al diez. Sin embargo, la jugada que conduce a 2,09 bazas en promedio, supera a la jugada que conduce a un promedio de 2,12 bazas en términos de objetivo de matchpoint.
Esto se puede comprobar si se consideran los layouts en los que la línea de juego que comienza con una finesse profunda obtiene más bazas que la línea de juego que comienza con una finesse y viceversa: se deduce que la finesse profunda supera a la finesse en el 22,95% de los casos, mientras que la finesse supera a la finesse profunda solo en el 18,33% de los casos. En el resto de los casos (58,72%) ambas líneas de juego dan lugar al mismo número de bazas.
Pueden surgir más complicaciones, ya que en algunos casos ninguna estrategia determinista conduce a un resultado óptimo. [16] [17] Un resultado bien conocido en la teoría de juegos establece que en tales casos debe existir una estrategia mixta óptima . Un pequeño cambio en el diseño del último ejemplo ilustra esto: [ cita requerida ]
¿Cuál es la mejor jugada de matchpoint para este palo? La línea de juego que maximiza la cantidad esperada de bazas es la finesse jugando al diez. Si el diez pierde contra la jota, se juega hacia el rey. Si el diez pierde contra el as, se juega hacia la reina.
Nuevamente, esta jugada no es óptima en términos de objetivo de matchpoint, ya que es superada por la siguiente línea de juego: hacer una finesse profunda jugando al ocho. Si el ocho pierde contra el nueve, a continuación, jugar el diez y hacer la finesse sobre la jota. Si el ocho pierde contra la jota, a continuación dejar correr al diez. Si el ocho pierde contra el as, dejar correr a la reina y luego hacer la finesse sobre la jota. Un análisis similar al del ejemplo anterior muestra que la línea de juego que comienza con una finesse profunda en el 31,43% de los casos conduce a más bazas que la línea de juego que comienza con una finesse . El resultado inverso se mantiene solo en el 23,18% de los casos.
La línea de juego anterior, que comienza con la fineza profunda, tampoco logra optimizar el objetivo de puntos de partido, ya que es superada por otra línea de juego. Resulta que hay un total de ocho líneas de juego que no son transitivas : [16] Se puede pensar que las ocho líneas de juego están ubicadas en un círculo de modo que cada línea de juego supere a su vecina izquierda. Como resultado, el enfoque óptimo en el contexto del objetivo de puntos de partido corresponde a una denominada estrategia mixta y es de naturaleza probabilística: el declarante tiene que seleccionar aleatoriamente una de las ocho líneas de juego. [17]