En el juego de cartas bridge , la ley o principio de los lugares vacantes es un método simple para estimar la ubicación probable de cualquier carta en particular en las dos manos no vistas. Puede usarse tanto para ayudar a tomar una decisión en la mesa como para derivar la tabla de probabilidad de división de palos completa.
Al comienzo de una mano , cada una de las cuatro manos consta de trece cartas y se puede decir que hay trece lugares vacíos en cada mano. La probabilidad de que una carta en particular se encuentre en una mano en particular es un cuarto, o 13/52, de la proporción de lugares vacíos en esa mano. Desde la perspectiva de un jugador que ve una mano, la probabilidad de que falte una carta en una de las otras manos es un tercio. En el bridge de contrato, una vez que comienza el juego, el muerto queda expuesto y, por lo tanto, para cualquier jugador, solo hay dos manos no vistas en las que puede estar una carta.
El principio de los lugares vacantes es una regla para actualizar esas probabilidades uniformes a medida que se aprende sobre el reparto durante la subasta y el juego . Básicamente, a medida que se conoce la posición de algunas cartas (especialmente cuando se conoce la distribución completa de algunos palos), las probabilidades de ubicación de cualquier otra carta en particular siguen siendo proporcionales a la cantidad decreciente de cartas no identificadas en todas las manos, es decir, a la cantidad de los llamados lugares vacantes.
El principio de los lugares vacantes se desprende de la teoría de la probabilidad condicional , que se basa en el teorema de Bayes . Para obtener una buena base sobre las probabilidades de los bridges, y en particular sobre los lugares vacantes, véase Kelsey; [1] véase también la Enciclopedia oficial del bridge. [2]
Somos el declarante en un contrato de corazón con la combinación de triunfo Kxxx en el muerto y AJxxx en la mano (ver figura). Faltan cuatro cartas de corazón, la reina y tres cartas de puntos o ♥ Qxxx. Jugamos pequeño al rey mientras ambos oponentes siguen bajo y juegan otro corazón pequeño, ♥ 2. La última de las tres cartas de puntos aparece a nuestra derecha dejando un corazón pendiente, la reina. Como nadie jugaría la reina mientras tiene una carta de puntos también, no hemos aprendido nada sobre la ubicación de la reina directamente, solo la distribución de las tres cartas de puntos, una a la izquierda y dos a la derecha. En el momento de la decisión podemos realizar un cálculo de lugares vacantes.
En primer lugar, supongamos que no sabemos nada sobre los otros palos, probablemente porque los oponentes no han subastado. Entonces, sólo conocemos el pequeño corazón observado a la izquierda y los dos observados a la derecha. Eso deja doce "lugares vacíos" donde puede estar la Q a la izquierda y once lugares vacíos a la derecha. Si la reina se encuentra en 12 de los 23 lugares vacíos, a la izquierda, ganamos jugando el as; la reina cae. En 11 de los 23 lugares vacíos, ganamos jugando la jota y luego el as, y dejamos caer a la reina a la derecha en la siguiente baza de corazones. Por lo tanto, las probabilidades a favor de jugar el as son de 12 a 11; el as es un ligero favorito para ganar una baza adicional, es decir, para ganar cinco bazas en corazones. La proporción 12/23 = 52,174% es exactamente la probabilidad que aparece en los catálogos estándar de combinaciones de palos.
Sin embargo, tenga en cuenta que este cálculo solo está disponible en el palo de corazones porque hemos tenido en cuenta todos los demás corazones, es decir, todos los corazones excepto el que todavía estamos buscando. Si nos faltaran un total de cinco cartas de corazones, entonces no se podría aplicar un cálculo de lugares vacantes.
Alternativamente, supongamos que LHO repartió y abrió 2 ♠ ( débil ); llegamos a un contrato de corazón sin más subastas por parte de los oponentes; y tenemos cinco espadas entre el muerto y la mano, dejando ocho para los oponentes. Podemos inferir que LHO tiene seis espadas y RHO dos. (Esto no es seguro; ocasionalmente las espadas se encuentran siete y uno o cinco y tres. Si seis y dos, eso deja siete y once lugares vacantes para los otros tres palos). La combinación del palo de corazón y el juego son como se discutió anteriormente: la combinación en la figura; jugamos pequeño al rey mientras ambos oponentes siguen bajo, y jugamos ♥ 2 de regreso hacia la mano mientras RHO sigue bajo. Ahora hay seis lugares vacantes para ♥ Q a la izquierda y nueve lugares vacantes a la derecha. Las probabilidades ahora son 6 a 9 en contra de la reina a la izquierda, y en contra de ganar si jugamos el as. La proporción 9/15 = 60% es la probabilidad de que RHO tenga la reina y jugando la jota ganará el palo.
Imaginemos que se nos pide que construyamos un conjunto de tablas de probabilidad para ayudar a mostrar cómo un palo podría dividirse, por ejemplo, la probabilidad de distribuciones de palos en dos manos ocultas en la página Probabilidades de Bridge . Supongamos que nos faltan tres cartas en el palo y no sabemos nada sobre la distribución de otros palos (es decir, estamos buscando las probabilidades a priori ). Cuando "repartimos" la primera carta de las tres, podemos ponerla en cualquiera de las manos. Cada mano, por definición, tiene 13 lugares vacíos, por lo que es una apuesta al aire en qué mano va (13/26 = 50% para cualquier mano). Ahora supongamos que queremos saber la probabilidad de que el palo se divida 3-0. La primera carta ya está en, digamos, la mano del Este. Ahora solo tiene 12 lugares vacíos, por lo que la probabilidad de que esa mano obtenga la segunda de las tres cartas es 12/(12 + 13). Esto debe multiplicarse por la probabilidad inicial de 1/2 para encontrar la probabilidad de que Este tenga las dos primeras cartas. Ahora, repartamos la tercera (y última) de las cartas que faltan. En este momento, Este solo tiene 11 lugares vacantes, mientras que Oeste todavía tiene 13. La probabilidad de que Este obtenga las tres cartas que faltan es 1/2 × 12/25 × 11/24, que es exactamente 0,11, que es el valor que vemos en la cuarta fila de la tabla (3 - 0 : 0,22 : 2 : 0,11).
Ahora, calculemos la probabilidad individual de una división 2-2 cuando faltan cuatro cartas (la siguiente fila de la tabla). Esta vez, procediendo de manera similar a la anterior, el cálculo es:
13/26 × 12/25 × 13/24 × 12/23 = (3 × 13) / (23 × 25) = 0,067826.
Esta cantidad debe multiplicarse por 6, exactamente de la misma manera en que puede aparecer la distribución 2-2, la combinación de obtener 2 cartas sobre 4. La probabilidad final de una división 2-2 es entonces 0,067826 * 6 = 0,4069565217
Las probabilidades de otras divisiones de palo se pueden calcular de manera similar.