En matemáticas , una variedad completa (o variedad geodésicamente completa ) M es una variedad ( pseudo ) riemanniana para la cual, comenzando en cualquier punto p , se puede seguir una línea "recta" indefinidamente a lo largo de cualquier dirección. Más formalmente, el mapa exponencial en el punto p se define en T p M , todo el espacio tangente en p .
De manera equivalente, considere una geodésica máxima . Aquí hay un intervalo abierto de y, debido a que las geodésicas están parametrizadas con "velocidad constante", se define de forma única hasta la transversalidad. Como es máximo, asigna los extremos de a puntos de ∂ M , y la longitud de mide la distancia entre esos puntos. Una variedad es geodésica completa si para cualquier geodésica tenemos eso .
El espacio euclidiano , las esferas y los toros (con sus métricas riemannianas naturales ) son variedades completas.
Todas las variedades riemannianas compactas y todas las variedades homogéneas son geodésicamente completas. Todos los espacios simétricos son geodésicamente completos.
Cada variedad de Riemann de dimensión finita conectada por caminos que también es un espacio métrico completo (con respecto a la distancia de Riemann ) es geodésicamente completa. De hecho, la completitud geodésica y la completitud métrica son equivalentes para estos espacios. Este es el contenido del teorema de Hopf-Rinow .
Un ejemplo simple de una variedad incompleta lo da el plano perforado (con su métrica inducida). Las geodésicas que van al origen no se pueden definir en toda la línea real. Por el teorema de Hopf-Rinow, podemos observar alternativamente que no es un espacio métrico completo: cualquier secuencia en el plano que converge al origen es una secuencia de Cauchy no convergente en el plano perforado.
Existen variedades pseudo-riemannianas compactas no geodésicamente completas (pero no riemannianas). Un ejemplo de esto es el toroide de Clifton-Pohl .
En la teoría de la relatividad general , que describe la gravedad en términos de una geometría pseudoriemanniana, surgen muchos ejemplos importantes de espacios geodésicamente incompletos, como por ejemplo agujeros negros no giratorios y sin carga o cosmologías con Big Bang . El hecho de que tal incompletitud sea bastante genérica en la relatividad general se muestra en los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking .
