cokurtosis

Medida de cuánto cambian dos variables aleatorias juntas

En teoría de la probabilidad y estadística , la cokurtosis es una medida de cuánto cambian juntas dos variables aleatorias. La cokurtosis es el cuarto momento central cruzado estandarizado . ^[1] Si dos variables aleatorias exhiben un alto nivel de cokurtosis, tenderán a sufrir desviaciones positivas y negativas extremas al mismo tiempo.

Definición

Para dos variables aleatorias X e Y existen tres estadísticas de cocurtosis no triviales ^{[1] [2]}

${\displaystyle K(X,X,X,Y)={\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])^{3}(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}} \over \sigma _{X}^{3}\sigma _{Y}},}$

${\displaystyle K(X,X,Y,Y)={\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])^{2}(Y-\operatorname {E} [Y])^{2}{\big ]}} \over \sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}^{2}},}$

y

${\displaystyle K(X,Y,Y,Y)={\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y])^{3}{\big ]}} \over \sigma _{X}\sigma _{Y}^{3}},}$

donde E[ X ] es el valor esperado de X , también conocido como media de X , y es la desviación estándar de  X . ${\displaystyle \sigma _{X}}$

Propiedades

• La curtosis es un caso especial de cokurtosis cuando las dos variables aleatorias son idénticas:

${\displaystyle K(X,X,X,X)={\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])^{4}{\big ]}} \over \sigma _{X}^{4}}={\operatorname {kurtosis} {\big [}X{\big ]}},}$

• Para dos variables aleatorias, X e Y , la curtosis de la suma, X  +  Y , es

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{X+Y}={1 \over \sigma _{X+Y}^{4}}{\big [}&\sigma _{X}^{4}K_{X}+4\sigma _{X}^{3}\sigma _{Y}K(X,X,X,Y)+6\sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}^{2}K(X,X,Y,Y)\\&{}+4\sigma _{X}\sigma _{Y}^{3}K(X,Y,Y,Y)+\sigma _{Y}^{4}K_{Y}{\big ]},\end{aligned}}}$

donde es la curtosis de X y es la desviación estándar de  X. ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle \sigma _{X}}$

• De ello se deduce que la suma de dos variables aleatorias puede tener curtosis diferente de 3 ( ) incluso si ambas variables aleatorias tienen curtosis de 3 de forma aislada ( y ). ${\displaystyle K_{X+Y}\neq 3}$ ${\displaystyle K_{X}=3}$ ${\displaystyle K_{Y}=3}$
• La cokurtosis entre las variables X e Y no depende de la escala en la que se expresan las variables. Si estamos analizando la relación entre X e Y , la cokurtosis entre X e Y será la misma que la cokurtosis entre a  +  bX y c  +  dY , donde a , b , cy d son constantes.

Ejemplos

Distribución normal bivariada

Sean X e Y cada uno distribuido normalmente con coeficiente de correlación ρ. Los términos de cokurtosis son

${\displaystyle K(X,X,Y,Y)=1+2\rho ^{2}}$

${\displaystyle K(X,X,X,Y)=K(X,Y,Y,Y)=3\rho }$

Dado que la cocurtosis depende sólo de ρ, que ya está completamente determinada por la matriz de covarianza de menor grado, la cocurtosis de la distribución normal bivariada no contiene información nueva sobre la distribución. Sin embargo, es una referencia conveniente para comparar con otras distribuciones.

Distribuciones normales no linealmente correlacionadas

Sea X una distribución normal estándar e Y la distribución obtenida estableciendo X = Y siempre que X <0 y dibujando Y independientemente de una distribución seminormal estándar siempre que X >0. En otras palabras, X e Y tienen una distribución normal estándar con la propiedad de que están completamente correlacionados para valores negativos y no correlacionados aparte del signo para valores positivos. La función de densidad de probabilidad conjunta es

${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)={\frac {e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left(H(-x)\delta (x-y)+2H(x)H(y){\frac {e^{-y^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\right)}$

donde H ( x ) es la función escalón de Heaviside y δ( x ) es la función delta de Dirac . Los cuartos momentos se calculan fácilmente integrando con respecto a esta densidad:

${\displaystyle K(X,X,Y,Y)=2}$

${\displaystyle K(X,X,X,Y)=K(X,Y,Y,Y)={\frac {3}{2}}+{\frac {2}{\pi }}\approx 2.137}$

Es útil comparar este resultado con lo que se habría obtenido para una distribución normal bivariada ordinaria con la correlación lineal habitual. De la integración con respecto a la densidad, encontramos que el coeficiente de correlación lineal de X e Y es

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\approx 0.818}$

Una distribución normal bivariada con este valor de ρ tendría y . Por lo tanto, todos los términos de cokurtosis de esta distribución con esta correlación no lineal son más pequeños de lo que se hubiera esperado de una distribución normal bivariada con ρ=0,818. ${\displaystyle K(X,X,Y,Y)\approx 2.455}$ ${\displaystyle K(X,X,X,Y)\approx 2.339}$

Tenga en cuenta que aunque X e Y tienen una distribución normal estándar individual, la distribución de la suma X + Y es platicúrtica. La desviación estándar de la suma es

${\displaystyle \sigma _{X+Y}={\sqrt {3+{\frac {2}{\pi }}}}}$

Insertando eso y los valores de cokurtosis individuales en la fórmula de suma de curtosis anterior, tenemos

${\displaystyle K_{X+Y}={\frac {2\pi (8+15\pi )}{(2+3\pi )^{2}}}\approx 2.654}$

Esto también se puede calcular directamente a partir de la función de densidad de probabilidad de la suma:

${\displaystyle f_{X+Y}(u)={\frac {e^{-u^{2}/8}}{2{\sqrt {2\pi }}}}H(-u)+{\frac {e^{-u^{2}/4}}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {erf} \left({\frac {u}{2}}\right)H(u)}$

Ver también

• Momento (matemáticas)
• asimetría

Referencias

1. Miller, Michael B. (2014). Matemáticas y Estadística para la Gestión de Riesgos Financieros (2ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Inc. págs. 53–56. ISBN 978-1-118-75029-2.
2. Meucci, Attilio (2005). Asignación de riesgos y activos. Berlín: Springer-Verlag. págs. 58–59. ISBN 978-3642009648.

Otras lecturas

• Ranaldo, Ángel; Laurent Favre (2005). "Cómo fijar el precio de los fondos de cobertura: de CAPM de dos a cuatro momentos". Trabajo de investigación de la UBS . SSRN  474561.
• Christie-David, R.; M. Chaudry (2001). "Coskewness y cokurtosis en los mercados de futuros". Revista de finanzas empíricas . 8 (1): 55–81. doi :10.1016/s0927-5398(01)00020-2.