Mónada de codensidad

En matemáticas, especialmente en la teoría de categorías , la mónada de codensidad es una construcción fundamental que asocia una mónada a una amplia clase de funtores .

Definición

La mónada de codensidad de un funtor se define como la extensión Kan derecha de a lo largo de sí misma, siempre que exista esta extensión Kan. Por lo tanto, por definición es en particular un funtor. La estructura de la mónada en se deriva de la propiedad universal de la extensión Kan derecha. ${\displaystyle G:D\to C}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle T^{G}:C\to C.}$$ ${\displaystyle T^{G}}$

La mónada de codensidad existe siempre que es una categoría pequeña (tiene solo un conjunto, en oposición a una clase propia , de morfismos) y posee todos los límites (pequeños, es decir, indexados por conjuntos) . También existe siempre que tiene un adjunto izquierdo . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$

Mediante la fórmula general que calcula las extensiones Kan correctas en términos de fines , la mónada de codensidad viene dada por la siguiente fórmula: donde denota el conjunto de morfismos en entre los objetos indicados y la integral denota el fin. La mónada de codensidad, por tanto, equivale a considerar funciones de a un objeto en la imagen de y funciones del conjunto de tales morfismos a compatibles para todos los posibles Por tanto, como señala Avery, ^[1] las mónadas de codensidad comparten cierto parentesco con el concepto de integración y doble dualización. $${\displaystyle T^{G}(c)=\int _{d\in D}G(d)^{C(c,G(d))},}$$ ${\displaystyle C(c,G(d))}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G(d),}$ ${\displaystyle d.}$

Ejemplos

Mónadas de codensidad de adjuntos derechos

Si el funtor admite un adjunto izquierdo, la mónada de codensidad viene dada por el compuesto junto con la unidad estándar y los mapas de multiplicación. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle G\circ F,}$

Ejemplos concretos de funtores que no admiten un adjunto izquierdo

En varios casos interesantes, el funtor es una inclusión de una subcategoría completa que no admite un adjunto izquierdo. Por ejemplo, la mónada de codensidad de la inclusión de FinSet en Set es la mónada de ultrafiltro que asocia a cualquier conjunto el conjunto de ultrafiltros en Esto fue demostrado por Kennison y Gildenhuys, ^[2] aunque sin usar el término "codensidad". En esta formulación, la afirmación es revisada por Leinster . ^[3] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M.}$

Leinster analiza un ejemplo relacionado: ^[4] la mónada de codensidad de la inclusión de espacios vectoriales de dimensión finita (sobre un cuerpo fijo ) en todos los espacios vectoriales es la mónada de doble dualización dada al enviar un espacio vectorial a su doble dual. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V^{**}=\operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (V,k),k).}$$

Así, en este ejemplo, la fórmula final mencionada anteriormente se simplifica para considerar (en la notación anterior) solo un objeto, a saber, un espacio vectorial unidimensional, en lugar de considerar todos los objetos en Adámek y Sousa ^[5] muestran que, en varias situaciones, la mónada de codensidad de la inclusión de objetos finitamente presentados (también conocidos como objetos compactos ) es una mónada de doble dualización con respecto a un objeto cogenerador suficientemente agradable . Esto recupera tanto la inclusión de conjuntos finitos en conjuntos (donde un cogenerador es el conjunto de dos elementos), como también la inclusión de espacios vectoriales de dimensión finita en espacios vectoriales (donde el cogenerador es el campo base). ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle D.}$ $${\displaystyle D:=C^{fp}\subseteq C}$$

Sipoş demostró que las álgebras sobre la mónada de codensidad de la inclusión de conjuntos finitos (considerados como espacios topológicos discretos ) en espacios topológicos son equivalentes a los espacios de Stone . ^[6] Avery muestra que la mónada de Giry surge como la mónada de codensidad de funtores olvidadizos naturales entre ciertas categorías de espacios vectoriales convexos a espacios mensurables . ^[1]

Relación con la dualidad de Isbell

Di Liberti ^[7] muestra que la mónada de codensidad está estrechamente relacionada con la dualidad de Isbell : para una categoría pequeña dada, la dualidad de Isbell se refiere a la adjunción entre la categoría de prehaces en (es decir, funtores de la categoría opuesta de a conjuntos) y la categoría opuesta de coprehaces en La mónada inducida por esta adjunción se muestra como la mónada de codensidad de la incrustación de Yoneda. A la inversa, se muestra que la mónada de codensidad de una subcategoría densa pequeña completa en una categoría cocompleta es inducida por la dualidad de Isbell. ^[8] ${\displaystyle C,}$ $${\displaystyle {\mathcal {O}}:Set^{C^{op}}\rightleftarrows (Set^{C})^{op}:Spec}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C.}$ $${\displaystyle Spec\circ {\mathcal {O}}}$$ $${\displaystyle y:C\to Set^{C^{op}}.}$$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C}$

Véase también

• Functor monádico  – Operación en álgebra y matemáticasPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

• Di Liberti, Ivan (2019), Codensidad: dualidad de Isbell, pro-objetos, compacidad y accesibilidad , arXiv : 1910.01014
• Leinster, Tom (2013). "Codensidad y la mónada del ultrafiltro" (PDF) . Teoría y aplicaciones de categorías . 28 : 332–370. arXiv : 1209.3606 . Código Bibliográfico :2012arXiv1209.3606L.

Notas al pie

1. Avery, Tom (2016). "Codensidad y la mónada de Giry". Revista de álgebra pura y aplicada . 220 (3): 1229–1251. arXiv : 1410.4432 . doi :10.1016/j.jpaa.2015.08.017.
2. Kennison, JF; Gildenhuys, Dion (1971). "Completado de ecuaciones, triples inducidos por modelos y pro-objetos". Journal of Pure and Applied Algebra . 1 (4): 317–346. doi : 10.1016/0022-4049(71)90001-6 .
3. Leinster 2013, §3.
4. Leinster 2013, §7.
5. Adámek, Jirí; Sousa, Lurdes (2019). D-Ultrafiltros y sus Mónadas . arXiv : 1909.04950 .
6. Sipoş, Andrei (2018). "Codensidad y espacios de piedra". Mathematica Slovaca . 68 : 57–70. arXiv : 1409.1370 . doi :10.1515/ms-2017-0080.
7. Di Liberti 2019.
8. Di Liberti 2019, §2.