Cocurtosis

Medida de cuánto cambian juntas dos variables aleatorias

En teoría de probabilidad y estadística , la cocurtosis es una medida de cuánto cambian juntas dos variables aleatorias. La cocurtosis es el cuarto momento central cruzado estandarizado . ^[1] Si dos variables aleatorias exhiben un alto nivel de cocurtosis, tenderán a sufrir desviaciones positivas y negativas extremas al mismo tiempo.

Definición

Para dos variables aleatorias X e Y hay tres estadísticas de cocurtosis no triviales ^{[1] [2]}

${\displaystyle K(X,X,X,Y)={\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])^{3}(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}} \over \sigma _{X}^{3}\sigma _{Y}},}$

${\displaystyle K(X,X,Y,Y)={\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])^{2}(Y-\operatorname {E} [Y])^{2}{\big ]}} \over \sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}^{2}},}$

y

${\displaystyle K(X,Y,Y,Y)={\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y])^{3}{\big ]}} \over \sigma _{X}\sigma _{Y}^{3}},}$

donde E[ X ] es el valor esperado de X , también conocido como la media de X , y es la desviación estándar de  X . ${\displaystyle \sigma _{X}}$

Propiedades

• La curtosis es un caso especial de cocurtosis cuando las dos variables aleatorias son idénticas:

${\displaystyle K(X,X,X,X)={\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])^{4}{\big ]}} \over \sigma _{X}^{4}}={\operatorname {kurtosis} {\big [}X{\big ]}},}$

• Para dos variables aleatorias, X e Y , la curtosis de la suma, X  +  Y , es

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{X+Y}={1 \over \sigma _{X+Y}^{4}}{\big [}&\sigma _{X}^{4}K_{X}+4\sigma _{X}^{3}\sigma _{Y}K(X,X,X,Y)+6\sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}^{2}K(X,X,Y,Y)\\&{}+4\sigma _{X}\sigma _{Y}^{3}K(X,Y,Y,Y)+\sigma _{Y}^{4}K_{Y}{\big ]},\end{aligned}}}$

donde es la curtosis de X y es la desviación estándar de  X. ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle \sigma _{X}}$

• De ello se deduce que la suma de dos variables aleatorias puede tener una curtosis distinta de 3 ( ) incluso si ambas variables aleatorias tienen una curtosis de 3 de forma aislada ( y ). ${\displaystyle K_{X+Y}\neq 3}$ ${\displaystyle K_{X}=3}$ ${\displaystyle K_{Y}=3}$
• La cocurtosis entre las variables X e Y no depende de la escala en la que se expresen las variables. Si analizamos la relación entre X e Y , la cocurtosis entre X e Y será la misma que la cocurtosis entre a  +  bX y c  +  dY , donde a , b , c y d son constantes.

Ejemplos

Distribución normal bivariada

Sean X e Y distribuidos normalmente con coeficiente de correlación ρ. Los términos de cocurtosis son

${\displaystyle K(X,X,Y,Y)=1+2\rho ^{2}}$

${\displaystyle K(X,X,X,Y)=K(X,Y,Y,Y)=3\rho }$

Dado que la cocurtosis depende únicamente de ρ, que ya está completamente determinada por la matriz de covarianza de grado inferior, la cocurtosis de la distribución normal bivariada no contiene información nueva sobre la distribución. Sin embargo, es una referencia conveniente para comparar con otras distribuciones.

Distribuciones normales no linealmente correlacionadas

Sea X una distribución normal estándar e Y la distribución obtenida al establecer X = Y siempre que X < 0 y extraer Y independientemente de una distribución seminormal estándar siempre que X > 0. En otras palabras, X e Y tienen una distribución normal estándar con la propiedad de que están completamente correlacionadas para valores negativos y no correlacionadas, salvo por el signo, para valores positivos. La función de densidad de probabilidad conjunta es

${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)={\frac {e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left(H(-x)\delta (x-y)+2H(x)H(y){\frac {e^{-y^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\right)}$

donde H ( x ) es la función escalonada de Heaviside y δ( x ) es la función delta de Dirac . Los cuartos momentos se calculan fácilmente integrando con respecto a esta densidad:

${\displaystyle K(X,X,Y,Y)=2}$

${\displaystyle K(X,X,X,Y)=K(X,Y,Y,Y)={\frac {3}{2}}+{\frac {2}{\pi }}\approx 2.137}$

Es útil comparar este resultado con el que se habría obtenido para una distribución normal bivariada ordinaria con la correlación lineal habitual. A partir de la integración con respecto a la densidad, encontramos que el coeficiente de correlación lineal de X e Y es

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\approx 0.818}$

Una distribución normal bivariada con este valor de ρ tendría y . Por lo tanto, todos los términos de cocurtosis de esta distribución con esta correlación no lineal son menores que lo que se hubiera esperado de una distribución normal bivariada con ρ=0,818. ${\displaystyle K(X,X,Y,Y)\approx 2.455}$ ${\displaystyle K(X,X,X,Y)\approx 2.339}$

Nótese que aunque X e Y tienen una distribución normal estándar individual, la distribución de la suma X + Y es platicúrtica. La desviación estándar de la suma es

${\displaystyle \sigma _{X+Y}={\sqrt {3+{\frac {2}{\pi }}}}}$

Insertando eso y los valores de cocurtosis individuales en la fórmula de suma de curtosis anterior, tenemos

${\displaystyle K_{X+Y}={\frac {2\pi (8+15\pi )}{(2+3\pi )^{2}}}\approx 2.654}$

Esto también se puede calcular directamente a partir de la función de densidad de probabilidad de la suma:

${\displaystyle f_{X+Y}(u)={\frac {e^{-u^{2}/8}}{2{\sqrt {2\pi }}}}H(-u)+{\frac {e^{-u^{2}/4}}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {erf} \left({\frac {u}{2}}\right)H(u)}$

Véase también

• Momento (matemáticas)
• Desviación cosificada

Referencias

1. Miller, Michael B. (2014). Matemáticas y estadísticas para la gestión de riesgos financieros (2.ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Inc., págs. 53-56. ISBN 978-1-118-75029-2.
2. Meucci, Attilio (2005). Riesgo y asignación de activos. Berlín: Springer-Verlag. pp. 58-59. ISBN 978-3642009648.

Lectura adicional

• Ranaldo, Angelo; Laurent Favre (2005). "Cómo fijar el precio de los fondos de cobertura: del CAPM de dos a cuatro momentos". Documento de investigación de UBS . SSRN  474561.
• Christie-David, R.; M. Chaudry (2001). "Coskewness y cokurtosis en mercados de futuros". Journal of Empirical Finance . 8 (1): 55–81. doi :10.1016/s0927-5398(01)00020-2.