El teorema de Thévenin

Teorema en el análisis de circuitos eléctricos.

Fig. 1. Cualquier caja negra que contenga únicamente resistencias, fuentes de tensión y fuentes de corriente, puede sustituirse por un circuito equivalente de Thévenin que consta de una fuente de tensión equivalente conectada en serie con una resistencia equivalente.

Como se indicó originalmente en términos de circuitos resistivos de corriente continua únicamente, el teorema de Thévenin establece que "cualquier red eléctrica lineal que contenga sólo fuentes de voltaje , fuentes de corriente y resistencias puede reemplazarse en los terminales A-B por una combinación equivalente de una fuente de voltaje V _th en una conexión en serie con una resistencia R _th ."

• El voltaje equivalente V _th es el voltaje obtenido en los terminales A – B de la red con los terminales A – B en circuito abierto .
• La resistencia equivalente R _th es la resistencia que tendría el circuito entre las terminales A y B si todas las fuentes de voltaje ideales en el circuito fueran reemplazadas por un cortocircuito y todas las fuentes de corriente ideales fueran reemplazadas por un circuito abierto.
• Si los terminales A y B están conectados entre sí, la corriente que fluye desde A y B será . Esto significa que R _th podría calcularse alternativamente como V _th dividido por la corriente de cortocircuito entre A y B cuando están conectados entre sí. ${\displaystyle {\tfrac {V_{\mathrm {th} }}{R_{\mathrm {th} }}}.}$

En términos de teoría de circuitos , el teorema permite reducir cualquier red de un solo puerto a una única fuente de voltaje y una única impedancia.

El teorema también se aplica a circuitos de CA en el dominio de la frecuencia que constan de impedancias reactivas (inductivas y capacitivas) y resistivas . Significa que el teorema se aplica para CA exactamente de la misma manera que para CC, excepto que las resistencias se generalizan a impedancias.

El teorema fue derivado de forma independiente en 1853 por el científico alemán Hermann von Helmholtz y en 1883 por Léon Charles Thévenin (1857-1926), un ingeniero eléctrico de la organización nacional de telecomunicaciones Postes et Télégraphes de Francia . ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]}

El teorema de Thévenin y su dual, el teorema de Norton , se utilizan ampliamente para simplificar el análisis de circuitos y estudiar la condición inicial y la respuesta en estado estacionario de un circuito. ^{[8] [9]} El teorema de Thévenin se puede utilizar para convertir las fuentes e impedancias de cualquier circuito a un equivalente de Thévenin ; En algunos casos, el uso del teorema puede ser más conveniente que el uso de las leyes del circuito de Kirchhoff . ^{[7] [10]}

Una prueba del teorema

Se han dado varias demostraciones del teorema de Thévenin. Quizás la más simple de ellas fue la prueba contenida en el artículo original de Thévenin. ^[3] Esa prueba no sólo es elegante y fácil de entender, sino que existe un consenso ^[4] de que la prueba de Thévenin es correcta y general en su aplicabilidad. La prueba es la siguiente:

Considere una red activa que contiene impedancias, fuentes de voltaje (constantes) y fuentes de corriente (constantes). La configuración de la red puede ser cualquier cosa. El acceso a la red se proporciona mediante un par de terminales. Designe el voltaje medido entre los terminales como V _θ , como se muestra en el cuadro en el lado izquierdo de la Figura 2.

Fig. 2. Figura utilizada en la demostración del teorema de Thévenin.

Suponga que las fuentes de voltaje dentro de la caja se reemplazan por cortocircuitos y las fuentes de corriente por circuitos abiertos. Si se hace esto, no aparece voltaje entre los terminales y es posible medir la impedancia entre los terminales. Llame a esta impedancia Z _θ .

Ahora supongamos que se conecta alguna red lineal a los terminales de la caja, que tiene impedancia Z _e , como en la Figura 2a. Deseamos encontrar la corriente I a Z _e . La respuesta no es obvia, ya que el voltaje terminal no será V _θ después de conectar Z _{e .}

En cambio, imaginamos que conectamos, en serie con impedancia Z _e , una fuente con fuerza electromotriz E igual a V _θ pero dirigida a oponerse a V _θ , como se muestra en la Figura 2b. Entonces no fluirá ninguna corriente a través de Z _e ya que E equilibra V _θ .

A continuación, insertamos otra fuente de fuerza electromotriz, E ₁ , en serie con Z _e , donde E ₁ tiene la misma magnitud que E pero tiene dirección opuesta (ver Figura 2c). La corriente, I ₁ , se puede determinar de la siguiente manera: es la corriente que resultaría de que E ₁ actuara solo, con todas las demás fuentes (dentro de la red activa y la red externa) puestas a cero. Esta corriente es, por tanto,

$${\displaystyle I_{1}={\frac {E_{1}}{Z_{e}+Z_{\theta }}}={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}}$$

porque Z _e es la impedancia externa a la caja y Z _θ mirando hacia el interior de la caja cuando sus fuentes son cero.

Finalmente, observamos que E y E ₁ se pueden eliminar juntos sin cambiar la corriente, y cuando se eliminan, volvemos a la Figura 2a. Por lo tanto I ₁ es la corriente, I , que estamos buscando, es decir

$${\displaystyle I={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}}$$

completando así la prueba. La figura 2d muestra el circuito equivalente de Thévenin.

Calcular el equivalente de Thévenin

El circuito equivalente es una fuente de voltaje con voltaje V _th en serie con una resistencia R _th .

El voltaje equivalente a Thévenin V _th es el voltaje de circuito abierto en los terminales de salida del circuito original. Al calcular un voltaje equivalente a Thévenin, el principio del divisor de voltaje suele ser útil, al declarar que un terminal está V _fuera y el otro terminal está en el punto de tierra.

La resistencia equivalente a Thévenin R _Th es la resistencia medida entre los puntos A y B "mirando hacia atrás" en el circuito. La resistencia se mide después de reemplazar todas las fuentes de voltaje y corriente con sus resistencias internas. Eso significa que una fuente de voltaje ideal se reemplaza por un cortocircuito y una fuente de corriente ideal se reemplaza por un circuito abierto. Luego se puede calcular la resistencia entre los terminales utilizando las fórmulas para circuitos en serie y en paralelo . Este método es válido sólo para circuitos con fuentes independientes. Si hay fuentes dependientes en el circuito, se debe utilizar otro método, como conectar una fuente de prueba entre A y B y calcular el voltaje o la corriente a través de la fuente de prueba.

Como mnemónico, los reemplazos de Thevenin para fuentes de voltaje y corriente se pueden recordar ya que los valores de las fuentes (es decir, su voltaje o corriente) se establecen en cero. Una fuente de voltaje de valor cero crearía una diferencia de potencial de cero voltios entre sus terminales, tal como lo haría un cortocircuito ideal, con dos cables en contacto; por lo tanto, la fuente se reemplaza por un cortocircuito. De manera similar, una fuente de corriente con valor cero y un circuito abierto pasan corriente cero.

Ejemplo

Fig. 3.

1. circuito original
2. El voltaje equivalente
3. La resistencia equivalente
4. El circuito equivalente

En el ejemplo, calculando el voltaje equivalente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {Th} }&={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }\\&={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V} \\&={1 \over 2}\cdot 15\,\mathrm {V} =7.5\,\mathrm {V} \end{aligned}}}$$

R ₁ABR ₁

Calcular la resistencia equivalente ( R _x || R _y es la resistencia total de dos resistencias en paralelo ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {Th} }&=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega .\end{aligned}}}$$

Conversión a un equivalente de Norton

Fig. 4. Conversión de Norton-Thevenin

Un circuito equivalente de Norton está relacionado con el equivalente de Thévenin por

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {Th} }&=R_{\mathrm {No} }\!\\V_{\mathrm {Th} }&=I_{\mathrm {No} }R_{\mathrm {No} }\!\\I_{\mathrm {No} }&={\frac {V_{\mathrm {Th} }}{R_{\mathrm {Th} }}}\!\end{aligned}}}$$

Limitaciones prácticas

• Muchos circuitos sólo son lineales en un determinado rango de valores, por lo que el equivalente de Thévenin sólo es válido dentro de este rango lineal.
• El equivalente de Thévenin tiene una característica I-V equivalente sólo desde el punto de vista de la carga.
• La disipación de potencia del equivalente de Thévenin no es necesariamente idéntica a la disipación de potencia del sistema real. Sin embargo, la potencia disipada por una resistencia externa entre los dos terminales de salida es la misma independientemente de cómo esté implementado el circuito interno.

En circuitos trifásicos

En 1933, AT Starr publicó una generalización del teorema de Thévenin en un artículo de la revista Institute of Electrical Engineers Journal , titulado A New Theorem for Active Networks , ^[11] que establece que cualquier red lineal activa de tres terminales puede ser sustituida por tres voltajes. fuentes con sus correspondientes impedancias, conectadas en estrella o en delta.

Ver también

• Teorema del elemento extra
• Teorema de transferencia de máxima potencia
• teorema de millman
• Transformación de fuente

Referencias

1. von Helmholtz, Hermann (1853). "Ueber einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche" [Algunas leyes relativas a la distribución de corrientes eléctricas en conductores con aplicaciones a experimentos con electricidad animal]. Annalen der Physik und Chemie (en alemán). 89 (6): 211–233. Código bibliográfico : 1853AnP...165..211H. doi : 10.1002/andp.18531650603.
2. Thévenin, Léon Charles (1883). "Extension de la loi d'Ohm aux circuitos électromoteurs complexes" [Extensión de la ley de Ohm a circuitos electromotrices complejos]. Annales Télégraphiques . Serie 3 ^e (en francés). 10 : 222–224.
3. Thévenin, Léon Charles (1883). "Sur un nouveau théorème d'électricité dynamique" [Sobre un nuevo teorema de la electricidad dinámica]. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (en francés). 97 : 159-161.
4. Johnson, Don H. (2003). "Orígenes del concepto de circuito equivalente: el equivalente de fuente de voltaje" (PDF) . Actas del IEEE . 91 (4): 636–640. doi :10.1109/JPROC.2003.811716. hdl : 1911/19968 .
5. Johnson, Don H. (2003). "Orígenes del concepto de circuito equivalente: el equivalente de fuente de corriente" (PDF) . Actas del IEEE . 91 (5): 817–821. doi :10.1109/JPROC.2003.811795.
6. Brittain, James E. (marzo de 1990). "El teorema de Thevenin". Espectro IEEE . 27 (3): 42. doi : 10.1109/6.48845. S2CID  2279777 . Consultado el 1 de febrero de 2013 .
7. Dorf, Richard C .; Svoboda, James A. (2010). "Capítulo 5: Teoremas del circuito". Introducción a los circuitos eléctricos (8ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey, Estados Unidos: John Wiley & Sons . págs. 162-207. ISBN 978-0-470-52157-1.
8. Brennero, Egon; Javid, Mansour (1959). "Capítulo 12: Funciones de red". Análisis de Circuitos Eléctricos. McGraw-Hill . págs. 268-269.
9. Elgerd, Olle Ingemar [en alemán] (2007). "Capítulo 10: Transitorios del sistema de energía: fenómenos de sobretensión y análisis de fallas simétricas". Teoría de los sistemas de energía eléctrica: una introducción. Tata McGraw-Hill . págs. 402–429. ISBN 978-0-07019230-0.
10. Dwight, Herbert Bristol (1949). "Sección 2: Circuitos eléctricos y magnéticos". En Knowlton, Archer E. (ed.). Manual estándar para ingenieros eléctricos (8ª ed.). McGraw-Hill . pag. 26.
11. Starr, AT (1933). "Un nuevo teorema para redes activas". Revista de la Institución de Ingenieros Eléctricos . 73 (441): 303–308. doi : 10.1049/jiee-1.1933.0129.

Otras lecturas

• Wenner, Frank (1926). "Un principio que rige la distribución de corriente en sistemas de conductores lineales". Actas de la Sociedad de Física . Washington, DC: Oficina de Normas . 39 (1): 124-144. Código Bib : 1926PPS....39..124W. doi :10.1088/0959-5309/39/1/311. hdl : 2027/mdp.39015086551663 . Artículo científico S531.
• Filtros de primer orden: acceso directo a través de la fuente equivalente de Thévenin (se muestra en la p. 4 simplificación del teorema de Thévenin del circuito complejo al filtro de paso bajo de primer orden y divisor de voltaje asociado , constante de tiempo y ganancia .

enlaces externos

• Medios relacionados con el teorema de Thévenin en Wikimedia Commons